Author Archives: Lisbeth Fajstrup

Sandbunker – matematik, fysik, kombinatorik og flotte billeder.

I 1987 fandt fysikerne Bak, Tang og Wiesenfeld på “sandbunker” en model for “self organized criticality”. Det vil jeg ikke vove mig ud i at forklare i detaljer, men det svarer til en slags faseovergang, som vi kender det fra materialer, der går fra fast til flydende til dampform. Det selvorganiserede indikerer, at systemet kommer i en særlig fase uden man behøver at påvirke det med eksempelvis varme. Sandbunker er en slags generalisering af  cellulære automater, som vi har set på tidligere. Celulære automater kan give komplicerede mønstre, men det kræver lidt arbejde og sker bestemt ikke altid. Sandbunker gør det af sig selv. Det er aktuel forskning, der er forbindelser til mange områder, både i teoretisk fysik og i kontrol af robotter.

Her er et billede af sådan en sandbunke – fra Sandpile Galleries på Carnegie Mellon 

Andre havde opdaget sandbunkerne fra et kombinatorisk synspunkt – uden fysik. På billedet er farverne antal sandkorn i en pixel Blå = 0, lyseblå =1, gul=2, rødbrun=3.

Lidt at fundere over. Der er ret skarpe grænser mellem farverne. Nærmest fraktalagtigt.  Zoom ind på midten og se en blomsteragtig struktur

 

 

 

Zoom ind på randen og se spidser og bratte overgange – et randfænomen.

 

Man laver en sandbunke efter følgende regel: Opdel planen i felter, ovenfor er det

Hæld sand ud over – fordelt på hver pixel. Begynd nu en proces, hvor stablerne vælter efter en fast regel:

For eksempel:

Hvis der er mere end 4 sandkorn på felt (x,y), så fjern de fire og læg en på hver af (x+1,y), (x-1,y), (x,y+1), (x,y-1). Bliv ved med det. Billedet ovenfor er lavet ved at starte med 2^{30} sandkorn i origo og lade dem vælte ud. Nedenfor er man startet med 2^{16} sandkorn. Og nedenunder det har jeg zoomet ind på det med 2^{30}.

 


Zoom ind på det første billede:


Nogle grundlæggende egenskaber ved sandbunker:

  1. Det er lige meget, hvilket felt man “vælter” først. Resultatet bliver det samme efterhånden. Man siger, sandbunker er Abelske. OBS: For cellulære automater skal man udføre et “move” på alle pixels på en gang.
  2. Det stabiliserer. Uanset starten vil der efterhånden ikke være mere at vælte.

Mere generelt kan man erstatte opdelingen af planen i et gitter med en graf, hvor der er regler for, hvordan sand fordeles ud fra hjørnerne. eller man kan lave et andet gitter i planen.

Man kan lade området være begrænset, så sandet vælter ud over kanten, hvis det når en randpixel. Gør man det, vil sandbunken ende med i gennemsnit 2,125 sandkorn pr. pixel. Begynder man med at have 3 på hver pixel, vil det naturligvis forblive sådan. Men dropper man et enkelt sandkorn et sted, vil det starte en serie af laviner, som ender med ca. 2,125 korn pr. pixel. (Det har jeg læst i Nautilus)

Videoen viser et 255×255 grid, som har indstillet sig i ligevægt med 2,125 korn pr pixel. Man tilføjer et enkelt sandkorn (af gangen, I presume)  i midten og et smukt system af laviner udfolder sig. Farverne fortæller, hvor mange gange sandet i den den pixel “er væltet”.

David Perkinson og Brian Head har lavet software, hvor man kan lege med sandbunker.

 

 

Rotorregler – mobile overvågningsrobotter.

En anden type sandbunkeregler er rotorregler, som man eksempelvis bruger til at studere mobile overvågningsenheder. Hver pixel sender sandkorn (robotter) i retninger, som skifter cyklisk –  eksempelvis nord, øst, syd, vest. Hvis alle skifter i takt og starter mod nord kan man studere et sandkorn, der starter i Origo. Det gennemgår (0,0), (0,1), (1,1), (1,0), (0,0). Med aggregerede rotorregler stopper sandkornet, når det kommer til en fri pixel. Sandkorn nummer 1 vil stoppe i (0,0). Sandkorn 2 begynder, når pilene peger mod øst, så det stopper i (1,0) Sandkorn 3 sendes til (0,-1). De pixels, der er besat efter 3 skridt er altså \{ (0,0), (1,0), (0,-1) \}. Billedet nedenfor viser de pixels, der er besat efter 2^16 sandkorn er myldret ud fra Origo. Farverne er den retning, den pågældende pixel pegede, da den blev “besat”. Man må nok forestille sig, at de mobile enheder kigger i den retning. Billedet er fra artiklen Laplacian Growth, Sandpiles and Scaling limits.Lionel Levine og Yuval Perez, Bulletin of the AMS, Juli 2017.. Der kan man finde mange matematiske spørgsmål om sandbunker, både løste og uløste.

 

 

 

Studiepraktik – Besøg Institut for Matematiske Fag 25-26-27 oktober 2017

Kom og besøg os. Gymnasieelever er inviteret til tre dages besøg på Aalborg Universitet.

Vi har tre matematikuddannelser

  1. Matematik (som også omfatter statistik.)
  2. Matematik-Økonomi.
  3. Matematik-Teknologi.

Du kan få et indtryk af alle tre uddannelser plus lære noget matematik. Du møder nogen måske kommende medstuderende og hører om

Differensligninger ved Jakob Gulddahl Rasmussen

Signalbehandling med lineære filtre ved Zeineb Al-Jawahri 

Endelige legemer: Fejlkorrigerende koder og morgendagens kryptografi, ved René Bødker Christensen

Differensligninger og regression med økonomiske anvendelser, v/Esben Høg

Symmetri. I matematik, fysik, biologi og rundt omkring os v/ Lisbeth Fajstrup

Du får en introduktion til uddannelserne:

Karrieremuligheder og studievalg ved Morten Grud Rasmussen.

Og så er der mad, der er “after study”, fælles for alle, der er på studiepraktik og genrelt mulighed for at opleve både AAU og Aalborg. Læs mere på Studiepraktiksiderne for Matematikuddannelserne.

(Lige nu henvises til  programmet for 2016, men det bliver opdateret meget snart.)

 

Hvor mange forskellige trekanter findes der?

Dumt spørgsmål. Der er (mindst) to problemer: Hvad betyder forskellige? Og næsten uanset, hvad det betyder, så er der nok uendelig mange. Hvilket igen kan betyde flere ting, for vi har forskellige slags uendelig….

Det er typisk i matematik: Spørgsmålene skal justeres, før vi kan få et meningsfuldt svar.

I løbet af sommeren har der været forskelige “svar” på lignende spørgsmål: Hvor mange billardborde findes der med visse egenskaber (sætter man en kugle til at rulle, vil den enten i det lange løb komme vilkårligt tæt på alle punkter på billardbordet eller gentage den samme bane igen og igen) – se Quanta Magazine .

Hvis en femkant skal kunne bruges som eneste flise i en fliselægning, som dækker hele planen, hvad kan man så sige om den femkant? Svar: Der er 15 forskellige muligheder.

Tilbage til trekanterne. I skolen er to trekanter ens, hvis de er kongruente. To figurer er kongruente, hvis man kan få den ene til at ligge præcis oveni den anden ved at parallelforskyde og dreje  – og sommetider tillader man også spejling.

Paralleforskydning, drejning og spejling bevarer vinkler, længder og arealer, så vi har følgende

  1. Hvis to trekanter er kongruente, så er deres vinkler parvis ens.
  2. Hvis to trekanter er kongruente, så er deres sidelængder parvis ens.
  3. Hvis to trekanter er kongruente, så har de samme areal.

I geometri i gymnasiet eller grundskolen har de fleste set eksempler på argumenter “den anden vej”:

  • Hvis to trekanter har parvis ens sidelængder, så er de kongruente.
  • Hvis en vinkel og de to hosliggende sider er lige store, er de kongruente.
  • Hvis en side og de to hosliggende vinkler er lige store, er de kongruente.

Illustrationen er fra Wikipedia:

Lad os stille spørgsmålet igen: Hvor mange forskellige trekanter er der, når kongruente trekanter anses for ens?

Igen er svaret uendelig mange, men der er et bedre svar, nemlig en klassifikation. Ovenfor genkaldte vi resultatet fra gymnasiet: Hvis to trekanter har parvis ens sidelængde, så er de kongruente.

M er mængden af alle trekanter. Den opdeler vi  i kongruensklasser – en kongruensklasse K er en delmængde af M, hvori alle trekanter er kongruente og sådan at trekanter udenfor K ikke er kongruente med trekanter i K. Det giver en opdeling af M i delmængder, som ikke har noget fælles med hinanden – disjunkte delmængder. (Man kan vise, kongruens er en ækvivalensrelation og udlede det derfra. ) Notationen [T] står for den kongruensklasse, som indeholder trekanten T, altså alle de trekanter, som er kongruente med T.

Definer en funktion F:M -> \mathbb{R}^3  ved F(T)= (a,b,c), hvor a,b,c er sidelængderne for T og a\leq b\leq c.

Et par observationer:

F(T_1)=F(T_2) hvis og kun hvis T_1 er kongruent med T_2. Så vi kan definere

G: {kongruensklasser af trekanter } -> \mathbb{R}^3  ved G([T])=F(T).

Vi ville gerne kunne sige: Der findes præcis en kongruensklasse for enhver vektor (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 med 0 <x\leq y \leq z – det ville give en klassifikation; en direkte oversættelse fra trekanter til bestemte vektorer i rummet og tilbage igen. Altså en invers til funktionen G.

Men det er helt sikkert forkert: (1,2,4) er ikke sidelængderne i en trekant. – Den sidste sidelængde er “for lang”.  Det er ikke alle sådanne (x,y,z), som er i billedmængden for F.

Trekantsuligheder

I en trekant opfylder sidelængderne (a,b,c) følgende uligheder:

  1. a+b > c.
  2. b +c > a.
  3. a+c > b.

Når vi navngiver, så a\leq b \leq c, er ligning 2 allerede opfyldt. Ligning 3 kan udledes:
c+a\geq b+a >b, så nu er spørgsmålet:

Kan vi altid  finde en trekant med sidelængder (a,b,c), hvis bare (a,b,c) opfylder 0<a\leq b \leq c og a+b > c?

Det kan vi. Det kan man f.eks. se som følger:

Cirklen med centrum i (0,0) og radius a skærer cirklen med centrum i (c,0) med radius b i et punkt P, som ikke ligger på x-aksen. trekanten med hjørner (0,0), (c,0) og P har sidelængder som ønsket. Punktet P=(x,y) kan findes som skæringspunkt mellem de to cirkler, altså som løsning til et ligningssystem:

Ligningen for cirkel 1 x^2+y^2=b^2 og for cirkel 2 (x-c)^2+y^2=a^2. Det giver

x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c} og y=\pm\sqrt{b^2-\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4c^2}}. Der er to muligheder – cirklerne skærer hinanden ovenfor og nedenfor linjestykket (0,0) – (c,0).

Eller man kan bruge, at cirkler er kontinuerte kurver og se, at de passerer x-aksen i hhv. -b, b og c-a og c+a. Da c-a < b må de to kurver skære hinanden for at nå til yderpunkterne (-b,0) og (c+a,0).

Konklusion:

Der findes præcis en kongruensklasse af trekanter for hvert  (a,b,c)\in \mathbb{R}^3, som opfylder  0<a\leq b \leq c og a+b > c.

Det er et klassifikationsresultat. Det udnytter, at sidelængder er invariante under de flytninger, vi tillader i kongruensrelationen. Og omvendt, at trekanter med samme sidelængder er kongruente. Desuden skulle vi have skåret billedmængden for F til. Her kan vi endda konstruere en trekant med de givne sidelængder. Det kan man ikke altid i klassifikationsresultater – ofte ved man blot, der findes en.

Andre spørgsmål, man kan stille er.

  • Hvis afstanden fra (a,b,c) til (x,y,z) er lille, kan man så sige noget om afstanden mellem de tilsvarende kongruensklasser af trekanter? (Ja, hvis man definerer afstand mellem trekanter passende.)
  • Hvad kan man sige om 4-kanter?
  • Hvis trekanter er ens, når de er similære (den ene er kongruent til en skalering af den anden), kan man så klassificere dem? (Ja. Skaler, så den længste side er 1 – det må man godt, da similær=ens. der er nu en similaritetsklasse for hvert par (a,b) med 0<a\leq b\leq 1 og a+b\geq 1. Den mængde kan I tegne i planen. Det bliver en trekant med hjørner (0,1), (1,1) og (1/2,1/2). )
  • og meget mere….

Klassifikation er en matematisk grunddisciplin a la biologernes kortlægning af dyr og planter. Det er nysgerrighedsdrevet, men ofte også meget praktisk anvendeligt. Klassifikation af krystalstrukturer er matematik, men grundlæggende for kemi.

 

 

Linjerede flader – struktur og design – og matematik.

I skoven ved Gisselfeld kloster skal der bygges en trætops-sti – a treetop walk, og matematikeren glæder sig allerede. Den ender i et 50 meter højt observationstårn:

Billede fra EFFEKT, som er arkitektfirmaet bag.

View of the central space of the observation towerEndnu et billede fra EFFEKTs flotte side om projektet. Faconen på tårnet giver mulighed for et helt andet blik end en traditionel cylinder ville have gjort.

Udover at være fantastisk flot, er det også smuk matematik. Og en god og effektiv konstruktion. Ydersiden af tårnet danner, som man kan se, en flade, en hyperboloide – det er en omdrejningsflade: Tag en hyperbel og roter den – de kurver, der er tegnet ind på de øverste to hyberboloider nedenfor, er hyperbler.

Fra Wikipedia – Creative Commons Attribution ShareAlike.

Hyperboloiden er også en kvadratisk flade: Den er løsningsmængde til ligningen \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1 for passende a og b.

Men det fineste er, at den er en dobbeltlinjeret flade. En dobbeltlinjeret flade indeholder to linjer gennem ethvert punkt. Og havde man ikke lige set tegningen ovenfor, skulle man tro, der så ikke kunne være andre muligheder end en plan. Men det er der tydeligvis. Sådanne flader har, hvis det ikke er planen, negativ Gausskrumning – alle punkter er sadelpunkter. Det buler skiftevis nedad og opad mellem linjerne.

Tårnets facon svarer til at rotere 120 grader i animationen her (fra Wikipedia)

Det giver en stærkere og mere robust konstruktion end en cylinder – formentlig fordi der er linjer på begge ledder, det er et dobbelt grid – og det er let at bygge dem. De bruges især til køletårne. Det skyldes, at flow op igennem hjælpes på vej af faconen. Luft trækkes op af termiske effekter kombineret med faconen – det har jeg lært af en ingeniør-phd-studerende; jeg vil ikke rode mig ud i en nærmere forklaring….

Udover hyperboloiderne,  er planen og  hyperbolske paraboloider de eneste dobbeltlinjerede flader.

Indgangsportal for WSJ2011En hyperbolsk paraboloide som indgangsportal. Fra Hardeknud spejderne.

Hyperbolske paraboloider er også kvadratiske flader: z=\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2} – og i øvrigt også z= cxy, hvis man drejer koordinatsystemet 45^{\circ}

Hyperbolske paraboloider og hyperboloider er gode konstruktioner – som Steen Møller forklarer det her:

Gaudis bygninger i Barcelona har mange anvendelser af kvadratiske flader – også hyperbolske paraboloider og hyperboloider. Den britiske arkitekt Norman Fosters bygninger er også ofte dobbelt grids – min favorit er British Museums glasloft og de smukke skygger, det kaster på de hvide vægge:

Billede fra Foster and Partners.

Men der er mange andre eksempler:

File:First Shukhov Tower Nizhny Novgorod 1896.jpg Et smukt vandtårn fra Nizhny Novgorod. Beskrivelse fra Wikipedia: The Hyperboloid water tower – the world’s first steel diagrid shell structure by the great Russian engineer and scientist Vladimir Shukhov (1853-1939) in 1896. The All-Russia industrial and art exhibition 1896 in Nizhny Novgorod.

Min ungdoms bambusskammel:

Bambusskammel

Satellite BowlFrugtskål fra MoMa, Museum of Modern Art i New York .

Fra Wikipedia Creative Commons. Havnetårn i Kobe. Og maritimt museum – tilsyneladende både en hyperboloide (tårnet) og en hyperbolsk paraboloide (museet)

Fugle i flok, cellulære automater og emergens.

Billedet viser en ny togstation i Cambridge UK. Mønsteret påstås, ifølge The Aperiodical at være John H. Conways “Game of Life”, som han arbejdede med, da han var i Cambridge. (Det skriver arkitektfirmaet her )

Det er ikke helt korrekt, men der er noget om snakken. Mønsteret er en 1-dimensional cellulær automat, mens Game of Life er 2-dimensional.

Cellulære automater.

En cellulær automat består af

  1. Et gitter/ grid eksemplevis i planen:GridsFra Mathworld
  2. En farvning af nogen af felterne – lad os holde os til sort/hvid, farvet/ikke farvet
  3. En regel for, hvordan farverne skifter når tiden går (den går i hop) – afhængigt af nabocellernes farver. Her skal man også definere, hvilke felter, der er naboerne.

Eksempler på naboer:

Moore-nabolag (Fra Mathworld).

vonNeumannNeighborhoodVon Neumann nabolag (fra Mathworld).

 

Eksempel: Game of Life.

Gitteret er det første ovenfor. Det dækker hele planen.

Naboerne til en celle er Moore-nabolaget med r=1.

Regler:

Kald en sort celle “i live” og en hvid “død”. (Det er mere dramatisk.) Hver celle har 8 naboer.
1) Hvis en levende celle har to eller tre levende naboer, forbliver den i live. (Har den flere end tre, dør den af overbefolkning; har den kun 1, dør den af ensomhed.)
2) En død celle med præcis tre levende naboer kommer til live.

Der skiftes farve på alle celler på en gang.

Puffer train Her er et Game of Life, som gentager sig selv. (fra Mathworld.)

En-dimensionale cellulære automater:

Her er der et grid på linjen. Nabolaget er cellen selv og den til højre og til venstre for den. Udviklingen illustreres med en tidsakse, så alle generationer er med i illustrationen.

Derer 8 forskellige konfigurationer for en celle og dens naboer – hvis vi holder os til to tilstande. 111, 110, 101, 100, 011, 010, 001, 000

For hver af de 8 kan man bestemme, hvad centercellen skal være i næste skridt. Det giver 2^8=256 muligheder.

Eksempel: 

Billedresultat for cellular automata rule 135 Reglen kaldes Nummer 30, fordi 30 skrives i totalssystemet som 11110. Figuren viser, hvordan en enkelt sort celle udvikler sig.

Rule 30 after 250 iterationsHer er 250 iterationer af regel 30. Højresiden minder om dekorationen på Cambridge North. På The Aperiodical påstår de, at Cambridge North er regel 135. Det svarer til at tage komplementet til regel 30 – 00011110, så får man 11100001 og spejle det – det bliver så til 10000111, som er binært for 135. I kan lege med endimensionale cellulære automater på Emergent Mind Jeg har lavet nummer 135 til jer:

 

 

 

 

Og nummer 86, som binært er 1010110. Det ligner egentlig også Cambridge North… Men det er der ikke mange andre, der gør.

 

 

 

Om fugle i flok

Lokale regler, som giver overordnede systemer kaldes ofte “emergente egenskaber”. Et eksempel er fugle, som flyver i flok ved at indrette sig efter de umiddelbare naboer. Det bruger man til at computergenerere store flokke af dyr – gnuerne i Løvernes Konge er lavet på den måde – eller menneskemængder. Der er nogen, der mener, det bliver et helt nyt område i matematik at forstå den slags til bunds.

Jeg har skrevet om Cellulære automater på numb3rs-bloggen i 2007. Der kan I finde andre links.

 

Flyt Verden med Eulers formel.

Flyt Verden er ikonet for matematik Eulers formel e^{i\pi}+1=0. Hvad laver den der og hvad flytter den mon?

I (PR for) matematikuddannelserne forfiner vi budskabet til Forstå, Forudse og Flyt Fremtiden (Matematik), Forudse Fremtiden (Matematik-økonomi), Tag Del i Teknologiens Udvikling (Mat-Tek).

Alle steder kan man få brug for Eulers formel og den indsigt, den giver.

I gymnasiet møder man eksponentialfunktioner e^x eller med en anden notation:  \exp(x) er en funktion. Den kan beskrives og defineres på mange måder, eksempelvis

  1. Den funktion, som løser differentialligningen f'(x)=f(x) og opfylder f(0)=1 . (Altså udfra dens vækst – sådan ser I den første gang i gymnasierne.)
  2. Den inverse funktion til den naturlige logaritme \ln(x). (Sådan gjorde man tidligere i gymnasierne. \ln(x) blev defineret som den stamfunktion til \frac{1}{x}, som går gennem (1,0).
  3. Den differentiable funktion f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, som opfylder f(a+b)=f(a)f(b) og  f'(0)=1.

I 1) bygger man på et (dybt) resultat om, at der finde sådan en løsning. I 2), at en kontinuert funktion har en stamfunktion og en strengt voksende funktion har en invers. I 3) er der igen en forudsætning om, at sådan en funktion findes. Uanset udgangspunkt, så vil e^x opfylde alle tre punkter.

e^{iy} er også en eksponentialfunktion. Jeg skrev om den sidste år og vil ikke gentage det, blot kort: i er en løsning til x^2+1=0 – populært sagt en kvadratrod af -1. Det giver en helt ny verden af tal, de komplekse tal, alle a+ ib og man kan lave sig en eksponentialfunktion med komplekse tal som input og komplekse tal som output, e^{x+iy}= e^x(\cos(y)+i\sin(y)). Den opfylder 3) ovenfor og desuden 1 og 2, når man har præciseret dette for komplekse tal. Sætter man x=0 og y=\pi får man e^{0+i\pi}= e^0(\cos(\pi)+i\sin(\pi))=-1 og vi har Eulers formel. Svingninger er dybt forbundet med komplekse tal via den komplekse eksponentialfunktion.

 complex GIF Man plotter komplekse tal i planen – x+iy er punktet (x,y). Figuren viser punkter på en cirkel, altså  (A\cos(t), A\sin(t))= Ae^{it}. Til højre ser man variationen at x-koordinaten (den blå graf) og y-koordinaten (den røde), når man løber rundt på cirklen.

  Fra Wikipedia – billedet ovenfor er lagt ned. Nederst plottes Ae^{it} =A\cos(t)+iA\sin(t) som (A\cos(t), A\sin(t)) i planen – det bliver punkter på en cirkel. Øverst er kurven ( A\sin(t),t)

 Figuren (fra Wikipedia) viser to situationer som ovenfor (den røde Ae^{it} og den blå Be^{i(t+k)} hvor k er en konstant – faseforskydning) samt summen af de to (den lilla). I nederste billede løber et rødt, et blåt og et lilla punkt rundt på tre forskelige cirkler og danner et parallellogram. Bemærk den samlede effekt på den øverste graf – det er temmelig indviklet. Men med komplekse tal kan man både regne og forstå det bedre.

Og nu forstår og flytter vi verden. Komplekse tal er nyttige, når man:

  • beskriver vekselstrøm (fase og amplitude)
  • skal forstå svingninger i økonomi – når man får brug for løsninger til x^2+1=0 i sin økonomiske model.
  • analyserer signaler, billeder,… ved Fast Fourier Transform (uden den, ikke noget digitalt tv)
  • løser differentialligninger – som kan være model for sygdomsspredning, flow over en flyvinge, EKG,…
  • beskriver rotationer (og skal bruge kvaternioner)
  • laver landkort, som skal bevare vinkler

Og der er meget mere. Men kom og læs hos os og bliv klogere. Og flyt så verden – og flyt med. Komplekse tal er kun et lille hjørne af matematikken.

Vores Matematiske Hjerne.

I forbindelse med verdensåret for matematik, WMY2000 skrev jeg en kronik i Jyllands Posten om, hvad matematikere går og tænker på. Den kan stadig læses (gratis) i Jyllands Postens arkiv. og den er egentlig ikke så ringe. Find den her.  Jeg var inspireret af en bog, “The maths gene. Why everybody has it but most people don’t use it.” Af Keith Devlin.

Måske er man blevet klogere og ved mere om abstraktion og hjernen. Men kronikken er nu stadig ok – der står p i stedet for \pi flere steder, men det finder I nok.

Den Gaussiske KorrelationsUlighed – om et bevis, som blev gemt og glemt.

I 2014 fandt en tysk statistiker, Thomas Royen, et bevis for en formodning fremsat i 1959. Royen skrev beviset ned og sendte det til Donald Richards, som er professor i statistik ved Pennsylvania State University. Og så bliver historien lidt mystisk:  Ifølge Quanta Magazine havde Richards forsøgt at bevise formodningen i 30-40 år; han forstod, at Royens bevis var korrekt og alligevel blev den viden ikke spredt særlig effektivt. Der ser ud til at have været et hav af forkerte beviser i omløb, så måske er det druknet i det hav.  Royen publicerede det i ArXiv, hvor vi allesammen lægger de næsten færdige versioner af artikler – nogenlunde samtidig med, vi sender dem til et tidsskrift. Royen valgte tidsskriftet The Far East Journal of Theoretical Statistics, et af de mange tidsskrifter med et tvivlsomt ry. Det burde nogen nok have frarådet. Men man kan da undre sig over, at det alligevel ikke blev spredt af eksempelvis Richards. Da to polske statistikere skrev en artikel, som er en gennemgang af beviset i  detaljer, fik flere øje på resultatet og det er præsenteret ved Bourbakiseminar i januar i år – samme dag som Helfgott talte om grafisomorfiproblemet. Nå, men hele “human interest” historien kan I finde mange steder. Lad os se, hvad det er for en formodning.

Slår man med  en terning, er sandsynligheden for en sekser \frac{1}{6}. Slår man med to terninger, er sandsynligheden for, at begge giver en sekser \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} – produktet af de to sandsynligheder. Det bliver et produkt, fordi der ikke er nogen korrelation mellem at slå en sekser med den ene terning og at gøre det med den anden. I et tidligere blogindlæg skrev jeg om uafhængighed. To hændelser A og  B er uafhængige, hvis P(A\cap B)=P(A)P(B), altså sandsynligheden for, at både A og B sker, er produktet af sandsynlighederne for hver af dem.

Den Gaussiske korrelationsulighed siger følgende: Hvis A og B er konvekse delmængder (hvis p og q er i A, så er linjestykket mellem p og q i A) af R^n (tænk på planen eller rummet, n=2,3) og både A og B er symmetriske omkring origo (hvis x er i A, så er -x også i A), og man skyder til måls efter en skive med centrum i origo – og pilene rammer normalfordelt omkring origo, så er P(A\cap B)\geq P(A)P(B), altså at sandsynligheden for at ramme i både A og B er mindst lige så stor som produktet af de to.

En mere langhåret version siger: \mu_n(A\cap B)\geq \mu_n(A)\mu_n(B) hvor \mu_n er det Gaussiske mål på R^n.

Den oprindelige version fra 1959 handler ikke umiddelbart om konvekse delmængder af planen, men om rektangler. Vi måler en række forskellige størrelser, eksempelvis højde, vægt og mellemrum mellem fortænderne. Vi ved tilfældigvis, at alle disse størrelser hver for sig er normalfordelt med middelværdi hhv. H, V og F. Vi ved nu, at 95% af alle målinger af højder falder i intervallet [H-h, H+h], 95% af alle vægtmålinger i intervallet [V-v, V+v] og mellemrum mellem fortænderne i intervallet [F-f, F+f].

Den Gaussiske korrelationsulighed siger, sandsynligheden for, at et datapunkt (x,y) (højde, vægt for en konkret person) ligger i rektanglet [H-h,H+h]x[V-v,V+v] er mindst (0,95)^2, produktet af de to sandsynligheder. Det samme gælder (naturligvis) for (y,z), vægt og mellemrum mellem fortænderne. Sandsynligheden for, at (y,x) ligger i rektanglet [V-v,V+v]x[F-f,F+f]  er mindst (0,95)^2. Hvis de to størrelser er uafhængige, er der lighedstegn. Eftersom en person af tæt på gennemsnitlig højde sandsynligvis også har tæt på gennemsnitlig vægt, vil vi forvente, at der ikke er lighedstegn i det første tilfælde . Mht. vægt og mellemrum mellem fortænderne, ved jeg det ikke. (Jeg havde skrevet, at noget tilsvarende gælder for kassen [H-h,H+h]x[V-v,V+v]x[F-f,F+f] – altså at et punkt ligger der med sandsynlighed (0,95)^3, men det er der ikke nogen, der har vist – eller påstået (tror jeg da). Og sådan kan man lære at læse det, der faktisk står i artiklen – og at spørge Svante, som fandt min fejl…)

I Quanta Magazine er en fin illustration, som jeg naturligvis ikke kopierer ind her – det må man ikke… Men kig selv på den. Nedenfor er en version fra Wikipedia – tænk på højde og vægt ovenfor. Højden er den røde kurve, vægten den blå. Det samlede kan man tænke sig som en klokkeformet graf over x-y-planen, som figuren længere nede viser.  Den grønne ellipse illustrerer 3\sigma ellipsen, det område, hvor et punkt med 99,73% sandsynlighed vil ligge. Rektanglet må I tænke jer til.

 

 

 

 

Abelprisen går til Yves Meyer.

Morten Nielsen har skrevet om årets Abelpris – og Arne Jensen har tidligere skrevet om Wavelets. Tak for det! – tilsammen giver det:

Abelprisen 2017
går til Yves F. Meyer (billede B. Eymann, Académie des Sciences)

for hans væsentlige bidrag til teorien om wa-
velets. Wavelets er funktionsystemer, der fremkommer ved dilatering
(udstrækning) og translation af én fast funktion :

\psi:
\{2^{j/2}\psi(2^jx-k)\},

hvor j og k gennemløber heltallene. Langt de fleste funktioner frem-
bringer “ubrugelige” systemer, men tilbage i 1909 observerede Alfred
Haar at funktionen

\psi(x) =

1 \;\mbox{for}\;0 \leq x < \frac{1}{2},
-1 \;\mbox{for}\; \frac{1}{2} \leq x < 1,
0\; \mbox{ellers.}

giver et såkaldt ortonormal system, der kan benyttes til at dekomponere
alle “rimelige” funktioner.
Haars funktion er ikke specielt “pæn”. Den er f.eks. ikke kontinuert
og det blev længe betragtet som en nær håbløs opgave at finde bedre
frembringere . Desuden kunne ingen på daværende tidspunkt forestille
sig praktiske anvendelser af sådanne systemer. Faktisk skulle der gå
omkring 70 år fra Haars opdagelse indtil tiden (og teknologien) var
moden til næste skridt.
Omkring 1980 kom geofysikeren Jean Morlet frem til, at systemer
med samme struktur som Haars system, ved implementation på en
computer, tilsyneladende var meget effektive til brug ved analyse af
seismografudskrifter fra olieeftersøgning. Dog havde Morlet ingen teo-
retisk forklaring på observationerne, men Morlets resultater satte gang
i intens ny forskning indenfor området.
Nogle af de vigtigste fremskridt stod Yves Meyer for. Meyer kon-
struerede sammen med P. G. Lemarié-Rieusset det første eksempel på
en glat ortonormal wavelet, og Meyers analyse af konstruktionen ba-
seret på Fourieranalyse førte til en fuldstændig beskrivelse af glatte
wavelets. (Grafen viser Lemarié-Rieusset og Meyers wavelet – funktionsudtryk kan man finde her)


Wavelets anvendes i dag til mange ting, for eksempel kompression af
musik, billeder og video. Der er bl.a. en nyere standard for billedkom-
pression (JPEG2000) som er baseret på wavelets.
Yderligere information om wavelets kan f.eks. findes i denne tekst
skrevet af Arne Jensen til Numb3rsbloggen.

Abelprisannoncering

Tirsdag 21/3 afsløres dette års Abelprisvinder(e). Det kan følges via livestreaming fra klokken ca. 11.30. Er man i Oslo, kan man følge det i rigtig levende live i Videnskabernes Akademis sal, på Drammensveien. Der er forfriskninger i Gobelinsalen fra 11.30. Annonceringen efterfølges af en beskrivelse af prisvinderens(eller vindernes) arbejde. Det står Terence Tao for.

Her i Aalborg ser vi det på instituttet på Fredrik Bajers Vej 7- i G5-109. Der må man selv medbringe forfriskninger.

I Oslo er der fra 17.30 mulighed for at spise Abelkage i Litteraturhuset og høre Terence Tao (Filedsmedaljevinder og matematisk superstjerne) fortælle om prisvinderen(vinderne).

Her er programmet

  • Eldrid Borgan (forskningsformidler og kjent fra NRKs forskningsprogram Schrødingers Katt) og Magnus Dehli Vigeland; (matematiker og profesjonell sirkusartist) er kveldens verter.
  • Terence Tao presenterer prisvinners arbeid. Han skal også  samtale med Eldrid Borgan om liv og lære innen matematikken.
  • Det blir paneldiskusjon med blant andre Nadia Larsen og Øyvind Ryan fra Matematisk institutt ved Universitetet i Oslo.
  • Magnus Dehli Vigeland kombinerer sine ferdigheter som sirkusartist og matematiker.
  • Alle kluter settes inn på å få prisvinner i tale på direkten
  • Abelkaken serveres fra kl. 17.30

Abelkaken pyntet med Abelprisenens logo. (Foto: Knut Falch/Scanpix) Sådan ser en Abelkage ud. Google troede, jeg mente æblekage.