Author Archives: Lisbeth Fajstrup

Ford-cirkler – og addition af brøker som vor mor IKKE gør det.

Vælg to hele tal p og q, som er parvis primiske (det eneste tal, der går op i både p og q er tallet 1). Tegn cirklen i planen med radius \frac{1}{2q^2} og centrum i (\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2}) . Bed nu en anden om at gøre det samme – med nyt valg af p og q. De to cirkler vil tangere x-aksen og enten tangere hinanden eller ikke have noget til fælles. Bliv ved og der opstår et fint mønster af cirkler. De kaldes Ford-cirkler, fordi de blev beskrevet i en artikel i American Mathematical Monthly i 1938 af Lester R. Ford Sr.

Notation: Fordcirklen svarende til p,q kaldes C(p,q).

Her på figuren er valgt p\leq q, så 0\leq \frac{p}{q}\leq 1 og dermed er x-koordinaten for centrum mellem 0 og 1. Tallet i cirklen er x-koordinaten for centrum (forkortet, så det svarer til p/q). Farven indikerer nævneren p.

Her er nogle konstateringer:

  • Ethvert rationalt tal a/b på x-aksen bliver rørt af en Fordcirkel: Forkort a/b og lav så Fordcirklen.
  • Radius og dermed højde af C(p,q) afhænger kun af q.

To Fordcirkler skærer ikke hinanden:

To Fordcirkler C(p,q) og C(r,s) vil enten tangere (kysse kaldte jeg det i indlægget om kuglepakninger) eller slet ikke røre hinanden:

De har centrum i hhv. (\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2}) og (\frac{r}{s},\frac{1}{2s^2}) så afstand mellem centrene opfylder

d^2=(\frac{p}{q}-\frac{r}{s})^2+(\frac{1}{2q^2}-\frac{1}{2s^2})^2

Summen af de to radier er s=\frac{1}{2q^2}+\frac{1}{2s^2}

Nu sammenligner vi d og s ved at udregne d^2-s^2. Hvis de to cirkler skærer hinanden er d^2-s^2<0 . Tangerer de, er d^2-s^2=0.

d^2-s^2=(\frac{p}{q}-\frac{r}{s})^2+(\frac{1}{2q^2}-\frac{1}{2s^2})^2-(\frac{1}{2q^2}+\frac{1}{2s^2})^2=(\frac{p}{q}-\frac{r}{s})^2- 4(\frac{1}{2q^22s^2})=(\frac{ps-rq}{qs})^2- (\frac{1}{q^2s^2})=\frac{(ps-rq)^2-1}{(qs)^2}

Forskellige Fordcirkler skærer ikke:

Hvis de to cirkler skærer, er
( ps - rq )^2 - 1<0 og altså ( ps - rq )^2 <1

Men  ps – rq  er et helt tal, så det vil kræve
ps – rq = 0 og altså  ps = rq ,
\frac{p}{q}=\frac{r}{s}
og altså er det samme cirkel.

Fareyfølger.

Hvis C(p,q) og C(r,s) tangerer, er |ps-rq|=1. Det leder til en anden pudsig observation. men først skal vi have indført brøkregning a la Farey:

Dette er de første Fareyfølger

  1. F_1=\frac{0}{1},\frac{1}{1}
  2. F_2=\frac{0}{1},\frac{1}{2}, \frac{1}{1}
  3. F_3=\frac{0}{1},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3}\frac{1}{1}
  4. F_4=\frac{0}{1},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{1}
  5. F_5=\frac{0}{1},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{1}{1}

Fareyfølgen F_n er uforkortelige brøker mellem 0 og 1 med nævner højst n. Rækkefølgen er efter størrelse. De elementer, der tilføjes til F_n for at få F_{n+1} er medianten af naboerne:

I F_5 tilføjes \frac{2}{5}. Naboerne er \frac{1}{3},\frac{1}{2}. Medianten er dårlig brøkregning, Fareyplus:

\frac{1}{3}\oplus\frac{1}{2}=\frac{1+1}{3+2}=\frac{2}{5}

Her er det tilsvarende for Fordcirklerne

Hvorfor gælder det? Her er først nogle konstateringer:

  1. Hvis 0<\frac{a}{b}<\frac{c}{d}<1 ligger medianten imellem dem \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}. Man viser det første ulighedstegn som følger:  \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d} \Leftrightarrow (b+d)a<(a+c)b \Leftrightarrow da<cb og det følger af \frac{a}{b}<\frac{c}{d}.
  2. Medianten mellem to naboer i F_k tilføjes i skridtet fra F_n til F_{n+1}, når nævneren den forkortede brøk svarende til \frac{a+c}{b+d} er højst n+1.
  3. Medianten af to naboer i en Fareyfølge F_k er uforkortelig: Medianten er ikke i F_k, da \frac{a}{b}, \frac{c}{d} er naboer. Antag \frac{a+c}{b+d}=\frac{rq}{rp} og $\frac{q}{p}$ er uforkortelig. Så er p>k, da medianten ikke er i F_k. rp=b+d og b+d\leq 2k. Altså er r=1.

Medianten tilføjes altså i skridtet fra F_{b+d-1} til F_{b+d}.

Nu mangler vi blot at se, at alle uforkortelige brøker kommer med i en proces, hvor vi begynder med \frac{0}{1},\frac{1}{1} og tilføjer medianter.

Stern Brocot-træet.

Lad os undlade at holde styr på, hvor store nævnerne er. Så bygger vi Stern-Brocot-træet (opkadt efter Moritz Stern, matematiker, og Achille Brocot, urmager (!) ):

Vi bruger kun den venstre side. De stiplede linjer hjælper til at se, hvad der tages medianter af, men et lag eller “niveau” er kun de sidst tilkomne.

Påstand: Alle uforkortelige brøker kommer med i et lag i træet. (Og det er derfor ok at konstruere Fareyfølger via medianter.)

Først er hjælperesultat: Hvis \frac{a}{b} < \frac{c}{d} er barn og forælder eller forælder og barn i træet (forbundet med en kant opad eller nedad fra \frac{a}{b} til $latex  \frac{c}{d}$, så er bc-ad=1. Bevis: Induktion. Det er ok for 0/1 og 1/1. Hvis ok for \frac{a}{b} < \frac{c}{d}, så er det ok for kanter til og fra medianten: Der er enten en  kant nedad mellem  \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} eller opad \frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}.
b(a+c)-a(b+d)=bc-ad=1 pr antagelse. Og tilsvarende for den anden side. (Lav selv et særargument for medianterne med hhv. 0/1 og 1/1.) En konsekvens er, at afstanden er  |\frac{a}{b} - \frac{c}{d}|=\frac{1}{bd}.

 

Argument for, at alle uforkortelige brøker er med i Stern-Brocot-træet: : På det k’te niveau i træet er summen af nævner og tæller i brøkerne mindst k+2, da Niveau k fremkommer som medianter fra niveau k-1 og højere niveauer. (Der laves hele tiden medianter med 0/1 og 1/1).

Antag nu, at p/q ikke er med i træet. Specielt er den ikke med på niveau p+q-1. Men den ligger mellem to naboer (forbundet med en kant), hvor den ene er på niveau p+q-1: \frac{a}{b} <\frac{p}{q}< \frac{c}{d}. Omskriv de to uligheder til

bp-aq>0 og cq-dp>0. Det er hele tal, så vi kan skrive \geq 1 begge steder.

Heraf: (bp-aq)(c+d)+(cq-dp)\geq c+d+a+b\geq p+q+1 (Det sidste følger af, at den ene brøk er fra niveau p+q)

Udregn venstresiden og brug bc-ad=1, da disse er forælder og barn i træet. Venstresiden giver da p+q. Og vi har en modstrid.

Tilbage til Fordcirklerne:

To Fordcirkler C(p,q) og C(r,s) tangerer hvis og kun hvis |ps-rq|=1. Altså svarer brøker, som er naboer i en Fareyfølge til tangerende Fordcirkler. Og det gælder også omvendt, men det har vi ikke vist her.

Endnu et pænt billede. His Fordcirklerne skærer, så vil halvcirklen fra (p/q,0) til (r/s,0) passere skæringspunktet.  Farven på halvcirklerne svarer til den Fareyfølge, hvori brøkerne er naboer.

 

 

 

Langlands får Abelprisen 2018 for at stille gode og dybe spørgsmål.

I 1967 skrev den dengang 31-årige Robert P.Langlands et 17 sider langt brev til André Weil. Weil var 30 år ældre og en af den tids store og indflydelsesrige matematikere. De to mødte hinanden, da de ventede på at komme ind til et foredrag, Langlands gav sig til at fortælle om nogle ideer og Weil foreslog ham at skrive dem ned. Måske for at slippe væk… Weil inviterede desuden Langlands til at besøge ham på Institute of Advanced Studies, Princeton og det lange brev skrev han inden besøget. Billedet her viser, hvad Langlands skrev på forsiden:  ”In response to your invitation to come and talk I
wrote the enclosed letter. After I wrote it I realized
there was hardly a statement in it of which I was certain.
If you are willing to read it as pure speculation
I would appreciate that; if not – I am sure you have
a waste basket handy.”

Weil fik renskrevet de 17 sider – på skrivemaskine – og det er det, derblandt matematikere kaldes Langlandsprogrammet.

Nu får Langlands  Abelprisen for sine “spekulationer”! Han har naturligvis selv bevist matematiske resultater, men priskomitéen skriver, han får prisen for “sit visionære program, der forbinder repræsentationsteori og talteori.”

Langlands på en konference i 2016. (Dan Komoda/Institute for Advanced Study)

Langlandsprogrammet indeholder nogle formodninger (conjectures) og et program for, hvordan man bør kunne bevise, at disse er korrekte. Det drejer sig om nogle forbindelser mellem områder af matematik, som ellers er ret forskellige i både emneområde og metoder. Den slags forbindelser giver sædvanligvis anledning til rigtig mange nye indsigter i begge områder. Lad mig forsøge at kaste lys på et lille hjørne af, hvad det går ud på:

Nogle primtal kan skrives som en sum af to kvadrattal:

2= 1^2+1^2
5= 1^2+2^2
13=2^2+3^2
17=1^2+4^2
29=2^2+5^2

Hvis man ser bort fra 2 (vi skriver “for et ulige primtal”, men der betyder jo bare, at 2 ikke er med) har alle disse primtal en fælles egenskab: Et primtal p, som ikke er 2, kan skrives som en sum af to kvadrattal hvis og kun hvis p=4k+1, hvor k er et naturligt tal. Det beviste Euler. Det er et eksempel på en reciprocitetslov – en egenskab ved primtallene udtrykkes ved division med rest . Her er det division med 4, som skal give rest 1. Vi skriver p\equiv 1 \mod 4

Et komplekst tal a+bi kaldes et Gaussisk heltal, hvis a,b er hele tal. Hvis p=m^2+n^2, så er (m+in)(m-in)=p ( husk, i^2=-1 og så er resten givet ved at gange ind i paranteser) og omvendt. Et primtal p er et produkt af to Gausisske heltal hvis og kun hvis det er en sum af to kvadrattal. 

De Gaussiske rationale tal er tal a+bi, hvor a og b er rationale tal (kan skrives som en brøk \frac{c}{d}, hvor c og d er hele tal. Ganger, dividerer, adderer eller subtraherer man to Gaussiske rationale tal med hinanden, er resultatet rationalt. De Gaussiske rationale tal udgør derfor ikke bare en delmængde \mathbb{Q}(i) af de komplekse tal, men et legeme. Man kan se det som en udvidelse af de rationale tal – man tilføjer i og reglen i^2=-1 og “beholder” regnereglerne. Det kaldes en legemsudvidelse. 

Nu ser vi på symmetrier.
Hvilke afbildninger har vi f:\mathbb{Q}(i)\to \mathbb{Q}(i), som er lineære: f((a+bi)+(c+di))=f(a+bi)+f(c+di) og bevarer produktstrukturen f((a+bi)(c+di))=f(a+bi)f(c+di) og desuden opfylder f(a+0i) = a+0i. Der er kun to afbildninger: Identitetsafbildningen f(a+bi)=a+bi og g(a+bi)=a-bi.

Da g(g(a+ib))=a+ib (man får skiftet fortegnet to gange), udgør funktionerne f og g en gruppe og g har orden 2 – sammensæt den med sig selv to gange, så får man identiteten.Det er Galoisgruppen for legemsudvidelsen \mathbb{Q}(i) over \mathbb{Q}.

Tilsvarende kan man se på Galoisgruppen for andre udvidelser af de rationale tal. Tænk på \mathbb{Q}(i) som en udvidelse af \mathbb{Q} med rødder i x^2+1 og dermed kvadratrødder af alle negative rationale kvadrattal. Vi ved, at alle andengradspolynomier ax^2+bx+c med rationale a,b,c, har to rødder (mere præcist, kan skrives a(x-r_1)(x-r_2) med  r_1,r_2\in \mathbb{R}(i) og en formel for disse rødder kan skrives blot med brug af kvadratrodssymbolet.

Alle tredjegradspolynomier med rationale koefficienter x^3+ a_2x^2+a_1x+a_0 har rødder, som kan opskrives ved brug af kvadratrødder og kubikrødder. Tilsvarende for 4.gradspolynomier, når man tilføjer fjerde rødder. Men for femtegradspolynomier går det galt. Det viste Abel og Galois. Det er altså ikke nok at kunne løse ligninger x^5=a for at kunne løse alle femtegradspolynomieligninger. Det mere generelle spørgsmål er, om der er en sammenhæng mellem løsninger til et polynomium P(x) og et andet Q(x).

Man kan formulere resultatet om primtal som sum af kvadrattal via Galoisgrupper. For et (ulige) primtal p er i^p=i, hvis p\equiv 1\mod 4 og i^p=-i, hvis p\equiv 3\mod 4. Funktionen z\to z^p kaldes en Frobeniusafbildning og er et element af  Galoisgruppen. Frobeniusafbildningen er forbindelsen mellem “kan man skrive p som en sum af to kvadrattal” og  “hvad er p \mod 4“.

Tilsvarende spørgsmål. Polynomiet x^2+x+1 har rod 1, når man regner modulo 3, da  1^2+1+1=3\equiv 0\mod 3. Men 1 er ikke en rod modulo 5. Hvor meget information er der i, at kende antallet af rødder modulo  primtal? Og hvad har det med Galoisgrupper at gøre?

Langlandsprogrammet foreslår en vidtrækkende generalisering af dette.

Det giver en forbindelse mellem harmonisk analyse – automorfe former, som er funktioner fra de komplekse tal til de komplekse tal med visse periodicitets egenskaber  –  og rødder i polynomier undersøgt via regning med rest som ovenfor. Andrew Wiles brugte en forbindelse af den type, da han løste Fermats problem.

Jeg har støttet mig til dels informationen på Abelprissiderne nogle noter fra et foredrag at Laurent Lafforgue, som fik Fieldsmedaljen for sit arbejde med Langlandsprogrammet og diverse populariseringer.

 

 

 

 

 

 

 

 

Grisecykler og differensligninger.

Cykler og cyklisk betyder her perioder og periodisk opførsel. Men der er faktisk et begreb i økonomi, som hedder “The Pork cycle” eller “The hog cycle” og det giver vel hos de fleste indre billeder af grise på cykel. Inden vi går videre, skal I have sådan en gris:

Billedresultat for buon compleanno in ritardo

I økonomi er det en anden historie: Med en meget simpel model, afhænger efterspørgslen efter grise(kød) (kun) af prisen og det gør udbuddet også. Der er to funktioner  D er “demand”, efterspørgsel, S er “supply”, udbud og de er funktioner af prisen p: D(p) og S(p).

Men prisen varierer jo med tiden, så det er ikke hele historien. Her lader vi tiden gå i “hop” og altså gør priserne det også: p_1, p_2,\ldots, p_{n-1}.p_n,\ldots Og naturligvis udbud og efterspørgsel: S_1,S_2,\ldots,S_{n-1},S_n,\ldots og  D_1,D_2,\ldots,D_{n-1},D_n,\ldots.

Man kan lade hvert hop svare til en time, en dag, en uge, en måned eller hvad der nu passer i modellen.

Nu kan vi så skrive D_n=f(p_n) for at indikere at efterspørgslen idag afhænger af prisen idag. Men udbuddet af grise kan ikke afhænge af prisen idag. Den kendte griseavleren ikke, da hun besluttede, hvor mange grise, der skulle produceres. Med en passende periode (den tid, det tager at få en gris klar til salg) kan vi skrive S_n=g(p_{n-1}) – udbuddet idag afhænger af prisen i forrige periode.

Hvad kan vi mere sige om funktionerne f og g? Las os gå ud fra, de er differentiable funktioner af en variabel f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, hvor input er pris og output er mængden af grisekød – i kilo eller en anden passende enhed. Højere pris giver mindre efterspørgsel og mere udbud, så f'(x)<0 og g'(x) >0. Der er eksempler på varer, hvor det ikke er rigtigt – basale fødevarer, som er forholdsvis billige er et eksempel. Men det er en model, så nu går vi med den.

Her er en graf (fra Wikipedia, Creative Commons) med de to funktioner

Bemærk, at prisen er op ad andenaksen, mens mængden er på førsteaksen. Efterspørgsel er den røde kurve, udbud er den blå.

Pilene indikerer et tidsforløb: Griseavleren ved, at grisene til tid 1 er blevet solgt til prisen p_1 og sætter gang i produktion af g(p_1)=Q_2 grise. De udbydes til salg og man må forestille sig en slags auktion, hvor der nu er Q_2 grise, som give prisen p_2=f^{-1}(Q_2).

Det ser griseavleren og producerer så g(p_2)=Q_3 grise til salg. De går til prisen p_3. Fortsætter man pilene rundt, kan man se, prisen svinge ind mod den pris, der svarer til skæringspunktet mellem de to kurver – den kaldes ligevægtsprisen.

Men det kunne også være gået anderledes:

Her vil prisen svinge længere og længere væk fra ligevægtsprisen. Modellen er en cobweb-model; det ligner et spindelvæv, hvis man tager flere ture rundt. Svingningen i priser er den såkaldte grisecykel.

Det afhænger tydeligvis af funktionerne f og g, om det går mod eller væk fra ligevægt. Det kan skrives op med en differensligning:

S_n=D_n og altså f(p_n)=g(p_{n-1}). Nu simplificerer vi yderligere og lader begge funktioner være lineære:

f(x)=a+bx og g(x)=c+dx, hvor a>0, b<0,d>0 og a>c.  c kan  godt være negativ – måske produceres der ikke grise, hvis prisen er for lav.) Så bliver ligningen a+bp_n=c+dp_{n-1}, som kan omskrives til

bp_n-dp_{n-1}=c-a

Skæringspunktet, ligevægtsprisen, er \bar{p}=\frac{c-a}{ b-d}.

Sådan en førsteordens differensligning kan man løse. Generelt ser det sådan ud – vi ser på løsninger til differensligningen

k_1y_n+k_2y_{n-1}=\varphi(n) med k_1\neq 0 og omskriver til y_n+ky_{n-1}= h(n)

  1. Løs det tilhørende homogene problem y_n+ky_{n-1}= 0. Løsningen er $latex  y_n=(-k)^nA$ – det er ikke svært at se, at det er en løsning, uanset A, og at der ikke er andre. (Et induktionsbevis kan gøre det. Ikke noget fancy som for differentialligninger.)
  2. Nu finder man en partikulær (altså bare en) løsning til det inhomogene problem. I vores tilfælde, hvor h(n) er konstant, har vi fundet ligevægtsløsningen \bar{y}.
  3. Den generelle løsning er nu, som vi kender det fra differentialligninger, y_n =A(-k)^n+\bar{y}

Det bruger vi for bp_n-dp_{n-1}=c-a – omskriv til p_n+\frac{-d}{b}p_{n-1}=\frac{c-a}{b} og får

p_n=A(\frac{d}{b})^n+\bar{p}

Da \frac{d}{b}<0, vil $p_n$ svinge omkring \bar{p}. Hvis d<b svinger det ind mod \bar{p}, hvis d=b svinger det frem og tilbage mellem de samme to værdier (grafen i midten nedenfor) og d>b giver svingning væk fra ligevægten. Man kan selvfølgelig finde A, hvis man kender en begyndelsesbetingelse. Kender man p_ 0, er A= p_0-\bar{p}

Billedresultat for cobweb model

Man kan lege med andre forventede priser. Ovenfor tror griseavleren, prisen holder fra en periode til den næste og det synes lidt naivt… Måske ser producenterne  på prisen i de to seneste perioder og så får man en andenordens differensligning. Mere generelt er adaptive forventninger det, at man lærer af, hvor meget, man skød forkert i de seneste perioder. Der findes naturligvis mere generelle modeller og prisdannelse på andre markeder såsom ejendomsmarkedet.

Genetisk landkort – lineær algebra, statistik og forundringsparathed

Dette landkort viser ikke det, du tror (clickbait… )

Fra artiklen

Genes mirror geography within Europe
John Novembre, Toby Johnson, Katarzyna Bryc, Zoltán Kutalik, Adam R. Boyko, Adam Auton, Amit Indap, Karen S. King, Sven Bergmann, Matthew R. Nelson, Matthew Stephens & Carlos D. Bustamante
Nature 456, 98-101(6 November 2008)
doi:10.1038/nature07331

Overordnet viser kortet følgende: Afstand mellem genetisk information fra to personer – en del af DNA – er i en vis forstand den samme, som geografisk afstand mellem de to personers oprindelsessted.

Mere præcist er det lavet ved Principal Component Analysis (PCA) – så lad os se på det først.

Principal Component Analysis:

Mange har set “bedste rette linje” i gymnasierne og PCA er noget lignende, men alligevel ikke helt.

(Fra Wikipedia CC-by-4.0 )

Figuren viser datapunkter i planen, altså data med 2 koordinater. De to akser midt i billedet er fundet med PCA: Origo er i midtpunktet for data, den længste akse er den retning, hvor der er mest variation. Det giver et nyt koordinatsystem. Man mister, som man kan se, ikke meget information ved kun at kende koordinaterne langs den akse, der går langs den længste af de to vektorer, altså projicere vinkelret ind på den linje. Og det er pointen i PCA: Fra en sky af højdimensionalt data – mange koordinater – finder man de retninger, der bedst forklarer variationen i data. Er man heldig, m.a.o., er der passende struktur i data, skal der ikke så mange af de nye koordinater til.

Landkortet kommer fra 1000 personer, datapunkter. Man kender 200.000 genetiske markører. Der er altså som udgangspunkt 200.000 koordinater(!) og PCA har reduceret til 2 koordinater. Akserne er tegnet ind som PC1 og PC2.

Hvordan finder man så disse akser i dette nye koordinatsystem? Og hvordan ved man, hvilke koordinater, der er mest betydende? Til det bruger man lineær algebra. Konkret gør man som følger – med et eksempel:

Opstil data i en matrix:

X=\left( \begin{array}{ccccccc}2&2&3&4&1&-3&-9\\3&1&3&3&4&-7&-7\\4&1&4&4&-1&-7&-5\end{array}\right)    Jeg har 7 punkter med hver 3 koordinater; hver søjle er koordinaterne for et punkt. Jeg har valgt dem, så middelværdien af hver af koordinaterne er 0. Er den ikke det, skal man trække middelværdien fra. Så nu er Origo, (0,0,0),  midt i min datasky. I eksemplet med DNA har de en 200.000 x 1000 matrix.

Fra matricen X udregnes først XX^T, covariansmatricen. Det giver en 3×3 matrix

XX^T=\left( \begin{array}{ccc} 124&117&103\\117&142&117\\103&117&124\end{array}\right)

Kender man ikke matrix produkt, så tænk på det som en organiseret opstilling af alle de skalarprodukter, man kan lave med de tre rækker i X.

Det er et centralt resultat i lineær algebra, at der til sådan en symmetrisk matrix (der står det samme over og under diagonalen) hører tre egenvektorer og det viser sig at være de vektorer, vi leder efter til PCA. Her er det (sådan cirka)

 

v_1= \left( \begin{array}{c} 1\\1,097\\1 \end{array}\right), v_2= \left(\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right), v_3=\left(\begin{array}{c}1\\-1,823\\1\end{array}\right)

Det er egenvektorer for XX^T. De tilhørende egenværdier er (igen sådan cirka – I kan selv regne dem præcist ud, hvis I synes, det er vigtigt). 350, 21, 14. Den første værdi er, som man kan se, langt større end de andre. Altså X X^Tv_1=350 v_1

Det betyder, at langt det meste af variationen i data sker i retning langs v_1. Man mister ikke megen information ved kun at se på datapunkternes projektion ind på den retning.

Her er PCA Explained Visually  Man kan lege med data i 2 og 3 dimensioner og der er et eksempel på, hvordan madvaner og geografi hænger sammen (i Storbritannien).

Landkortet laves som følger:

  1. Find en 200.000×200.000 matrix udfra den oprindelige 200.000 x1.000 matrix.
  2. Udregn egenværdier og egenvektorer for denne.
  3. Se på størrelsen af egenværdierne. Her er to af dem betydeligt større end de andre.
  4. De to tilhørende egenvektorer PC1 og PC2 giver en plan i det 200.000 dimensionale rum. Landkortet viser projektionen af de 1000 datapunkter ind på denne plan. Man har derefter farvet datapunkterne efter personernes oprindelsesland. Og drejet det lidt, så det ligner et sædvanligt landkorts nord-syd og øst-vest orientering. De store farvede cirkler er middelværdier. Eksempelvis er den turkise, der står DK i, middelværdi for alle datapunkter fra Danmark.

Det illustrerer, at afstanden mellem de genetiske markører i meget høj grad kan forklares med geografisk afstand. Bemærk, at den Iberiske halvø (Spanien og Portugal) ligger lidt upræcist. Det skyldes, at afstanden ikke måles direkte på en globus. Det er en rejseruteafstand – den genetiske afstand  afhænger af, hvor langt man tidligere typisk har rejst for at finde sin partner. De lille kort viser, at man i Schweiz har fundet partner blandt dem, der talte samme sprog.

Man kan også undersøge forholdet mellem geografiske og genetiske afstande på andre måder. Mikkel (fra vores eget institut) har undersøgt noget tilsvarende for Y-kromosomer (som kun mænd har), dog ikke vha. PCA men vha. en såkaldt modelbaseret klyngeanalyse. Her ses resultatet:

Underskriftsindsamling i Storbritannien imod matematisk umulige fodbolde

I Storbritannien har de overtrådt en af matematikkens love (se nedenfor, hvilken overtrædelse, det drejer sig om), da de tegnede fodbolde på vejskiltene:

Terrible signage (photo: The Independent)

Det har fået Matt Parker, til at lave en underskriftsindsamling mod dette uvæsen. Matt Parker er “Stand up Matematiker” og mener det nok på den ene side ikke så alvorligt og på den anden side er det en mulighed for at få matematik på dagsordenen, som netop Matt nok ikke vil overse.

Problemet med de fodbolde er, at de er dækket af et mønster af sekskanter. Her går jeg ud fra, at skiltemaleren tænker sig mønsteret fortsætte på hele fodbolden. Man kan ikke sætte sekskanter sammen, så de dækker en fodbold. En traditionel fodbold har en blanding af sekskanter og femkanter.

Hvor ved vi så det fra? Svar: Det siger Euler.

Eulerkarakteristik

En polygon har lige mange hjørner og kanter:

PolygonUnfilled

En polygon er (i denne sammenhæng) en cirkel, som er knækket og rettet ud, så der bliver et antal linjestykker (kanter) og knækpunkter (hjørner). Hvis man bliver mere liberal i sin definition gælder ovenstående muligvis ikke – og det kan være sværere at definere, hvad kanter og hjørner er.

Et polyeder får man ved at opdele kuglefladen i trekanter, firkanter, femkanter,….  – kald dem sider efter følgende regler:

  1. To sider kan mødes i et hjørne, en fælles kant eller slet ikke
  2. En side skal være det, der ligger indenfor en polygon – som ovenfor.

Eulers polyederformel siger om sådan et polyeder:

Antal sider – Antal kanter + Antal hjørner =2.

Traditionelt skriver vi F-E+V=2.

F for “faces”, E for “edges”, V for “vertices”.

Man får 2, uanset, hvordan vi har delt kuglefladen op efter opskriften ovenfor.

Symmetric view of associahedron

Tilbage til den britiske afstemning og vejskiltene:

Hvordan ved vi, man ikke kan sy en fodbold af sekskantede stykker? (Hvor man overholder ovenstående princip om at mødes langs enten kant, hjørne eller ikke mødes. Man kan naturligvis godt sy to sekskanter sammen til en besynderlig fodbold. ) Lad os antage, at vi har syet sådan en fodbold.

  • Alle kanter deles af præcis to af stykkerne og der er 6F kanter, inden vi syr sammen. Heraf: E=\frac{6F}{2}=3F
  • Ved hvert hjørne er det mindst tre stykker, der mødes (Er der kun to, vil de dele mere end én kant.) Der er 6F hjørner, inden vi syr sammen.
    Heraf: V \leq \frac{6F}{3} =2F

(tænk over det. )

Nu regner vi – sætter ligning og ulighed ind:

F-E+V=F-3F+V \leq F-3F+2F=0 men vi ved jo F-E+V=2, så den går ikke.

Hvor mange femkanter skal man bruge sammen med sekskanterne?

Hvis vi laver fodbold med F_5 femkanter og F_6 sekskanter, og forlanger, præcis 3 skal mødes i hvert hjørne, så får vi ved ræsonnementet ovenfor

F_5+F_6 - \frac{5 F_5+6 F_6}{2}+\frac{5 F_5+6F_6}{3}=2

Flyt lidt rundt og få  F_5-\frac{5 F_5}{2} +\frac{5F_5}{3} +F_6 - \frac{6 F_6}{2}+\frac{6F_6}{3}=2

Leddene med F_6 går ud. Tilbage står, at der skal være præcis 12 femkanter. Uanset antallet af sekskanter. Jeg ved ikke, hvor mange sekskanter, man kan have. 0 er ok – det giver et dodekaeder. 20 er også ok – det giver en sædvanlig fodbold.

 

Sekskanter og baderinge:

Hvis man ikke syr fodbolde men baderinge, kan man godt lave dem af sekskantede stykker:

Hvis vi dækker en torus (en badering) med stykker som ovenfor og tæller F, E, V, så får vi F-E+V=0. Eulerkarakteristikken af en torus er 0. Nu kan vi ikke afvise, at vi kan dække med sekskanter – kravet var jo F-E+V \leq F-3F+2F=0. M.a.o. skal vi sy en torus af sekskanter, så skal de mødes præcis tre i hvert hjørne.

Regulære polyedere:

går vi tilbage til opdeling af kuglefladen ved vi, den ikke kan dækkes af sekskanter. Lad os sige, vi vil dække med n-kanter (vi ved ikke, hvad n er, men det skal holdes fast.) Og at der skal være tre, der mødes ved hvert hjørne. Så siger Euler

F-\frac{nF}{2}+\frac{nF}{3}=2 Reducer og få 2=F(1-\frac{n}{2}+\frac{n}{3})=F(1-\frac{n}{6})

F er positivt og 2=F(1-\frac{n}{6}). Altså er 1-\frac{n}{6} > 0 , så n kan være 1,2,3,4,5, men det er antal sider i en polygon, så 1,2 duer ikke. man kan altså kun bygge regulære polyedere med trekanter, firkanter og femkanter.

Kig lidt nærmere på det (eksempelvis skal der \frac{nF}{2} og \frac{nF}{3} være hele tal, da de er antal hhv. kanter og hjørner) og (gen)find de fem regulære polyedere:

Billedresultat for regulært polyeder

Mere luft under vingerne:

Eulerkarakteristik har mange anvendelser, kan generaliseres til højere dimensioner, kan sige noget om datamængder og meget mere. Lidt mere tilgængeligt. Hvor mange kan man  sætte sammen med de 12 femkanter, hvis man vil lave en ny slags fodbold med femkanter og sekskanter?

 

 

 

 

 

Matematisk tidsfordriv.

Det britiske Open University har i samarbejde med UK Mathematics Trust lanceret Perplex. Det er en app (du kan finde den til både Android og iPhone)  og et website, hvor man kan spille “matematiske” spil eller måske nærmere løse opgaver, som har en underliggende matematisk forklaring.

Jeg har ikke leget så meget med det – lige nu er der ikke særlig mange opgaver og legepladser i det, men det kommer jo nok. Det går, så vidt jeg kan se, ud på at løse opgaverne i færrest mulig “træk” – så får man stjerner og kan gå videre til næste (type) opgave.

Lærer man mon matematik af at lege med den slags opgaver? Njah, måske. Det kommer nok an på, om man tænker over, hvad man gør. At lave en strategi for at bruge færre “træk” kan der være meget matematik i. Der er i hvert fald en del strategisk “hvis … så” i det. Desuden er der en forklaring på matematikken bag de forskellige spil. Fire-farveproblemet, latinske kvadrater, talteori, Goldbach formodningen,…

Der er mange andre spil med logisk/matematisk tilsnit både online, brætspil etc.

Her er et par sites:

Angela und Otto Janko  har en stribe “logikrätzel” , “zahlenrätzel” – Sudokuagtige puslerier – og andre, som kan løses interaktivt. Sitet er primært på tysk, men det er nu ikke svært at forstå.

MathIsFun har også puzzles and games.

ThinkFun  har lagt en del af deres spil ud i en online version.

Der er masser af matematik om det at spille spil:

  • er der en vindende strategi? En algoritme/opskrift, som altid vil føre til, at den, der starter (og bruger strategien) vinder.
  • vil der altid være en vinder?
  • slutter det altid? Og hvor lang tid tager det højst/mindst?
  • etc.

Det er et enormt emne – der er skrevet bøger om det. Men jeg skal ikke rode mig ud i mere. I skal sikkert videre med et spil RushHour, en Rubiksterning, Hanois tårne, et spil Set, Ricochet Robots … Dem er der allesammen matematik i. Men det er der også i skak, dam, mølle, kryds og bolle,….

Studieretningsprojekter og det, der ligner.

Lige nu er der tryk på gymnasierne – reformen skal sættes igang for 1g’erne og 3g’erne skal vælge emner og fag til studieretningsprojekter, SRP. Her på bloggen kan vi muligvis give indspark til SRP ved at give en oversigt over, hvad vi har haft blogindlæg om.

Disclaimer: Husk først at tale med gymnasiets lærere om de vilde forslag, du måske kan finde her. Vi er ikke gymnasielærere og kender ikke dine præcise forudsætninger. Og måske ved vi heller ikke helt så klart, hvad der kræves i et SRP.

Her er en oversigt over indlæggene (jeg har udeladt dem, der ikke er matematik i):

 

Sker der noget nyt i matematik? om de mange, mange nye artikler (100.000 om året) og resultater, der kommer i matematik.

Fra fladt papir til krumme flader. Om matematikken bag, hvordan grafén kan komme til at krumme.

Hvad er det næste tal? Om følger af hele tal, som de eksempelvis optræder i IQ-tests og om Neil Sloanes oversigt over rigtig mange af den slags følger. Og hvorfor det kan være nyttigt for anden end IQ-test.

Smilehuller og rynker – golfbolde og fingeraftryk Et nyt resultat om, hvordan lagdelte stoffer danner mønstre på overfladen. Matematikken er krumning og geometri.

Gæt næste tal i rækken Næste tal i rækken kan være hvad som helst. Men kan altid finde et system, der begrunder, at næste tal er det, man nu vil have, det skal være.

Studiepraktik. Kom og besøg os. Studiepraktik i 2015. Det gør vi igen i 2016. Der kom senere et indlæg om, hvad der var foregået. 

Krumning – indre og ydre Om den matematiske måde at tale om krumning på.

Verdens Statistikdag 20/10 2015 var Verdens Statistikdag ifølge FN. Der er rigtig gode grunde til at sætte fokus på at have gode data. Og altså hylde statistikken.

Findes der matematiske genier? Matematikere får ikke ideer ved at ligge på stranden og være geniale. Der er masser af hårdt arbejde involveret. Læs også, hvad Terence Tao har sagt om netop det.

Idag er det Booles fødselsdag. Hurra hurra… Om Boole og hans bidrag til matematik, elektronik, datalogi,…

Et nyt resultat om kompleksitet(?)- rygters bureau. Det forlød, at et nyt resultat om kompleksitet af grafisomorfiproblemet ville blive præsenteret – og rygtet talte sandt,. på bloggen skrev vi om, hvad det gik ud på.

abc-formodningen. Nej, det er ikke noget med alfabetet. En matematisk formodning, som påstås bevist i en række artikler, som der er meget få, der mener, de forstår. Men på bloggen kastede vi os ud i en forklaring af, hvad formodningen siger. Det er ikke helt så svært.

Mod det uendelige univers. Uendelighed har vi under en form for kontrol i matematik. Vi har definitioner, så vi ved, hvad vi taler om. Det forklarer vi i dette indlæg.

Hvor ved vi fra, at logaritmefunktionen går mod uendelig? Titlen siger vist, hvad dette handler om…

Epsilons hemmelighed. En julekalender, som ikke er der. Bloggen havde ikke en julekalender, men der er links til andre matematikblogs, som har julekalender.

Komplekse tal og flotte mønstre. Matematik kan bruges til at lave flotte mønstre. Her er det med udgangspunkt i de komplekse tal. Nærmere bestemt Gaussiske primtal – se mere i indlægget.

Nyt år i matematik I anledning af nytår kom et indlæg om anvendt matematik og forbindelserne til og fra matematik, som endnu ikke bruges i andre fagområder. Med udgangspunkt i en artikel skrevet af Ingrid Daubechies.

Matematikfilm fra gamle dage. Amerikanske film om matematik. Fra 60’erne.

Hvordan man kommer til kort. Om matematikken bag landkort – fra den runde jord til flade kort.

Cantormængden. De reelle tal er så sære, at man bliver helt svimmel. Cantormængden er et af mange eksempler på dette.

Meget store primtal. Der blev fundet endnu et meget stort primtal. Indlægget handler om primtal og hvorvidt det er interessant, at der er endnu et meget stort et. (Hint: det er det sådan set ikke).

Cantormængder – på den fede måde. Andre sære delmængder af de reelle tal – her “fede Cantormængder”.

Mød AAUs matematikere – nogen af dem. Henvisning til foredrag for gymnasieelever og andre matematikinteresserede i Ungdommens Naturvidenskabelige Forening.

For få kvinder på Læsø? Det gav store overskrifter, at “kvinderne forlader udkantsdanmark”. Her forklarer vi, hvordan man analyserer den slags tal. Om data kunne være udtryk for noget tilfældigt eller det ser ud til at være noget andet.

Når livet er lineært. er titlen på en bog. Indlægget drejer sig om at bruge smarte metoder fra lineær algebra til billedbehandling.

Når livet er lineært II Mere fra samme bog. Her om matricer og grafer (netværk).

Kan man skrive en børnebog om Fermats sidste sætning? Ja. det kan man. Indlægget forklarer noget om Fermats sidste sætning og om den danske børnebog, der handler om en del af beviset.

Turingprisen til Diffie og Hellman. Turingprisen blev givet for Kryptering med offentlig nøgle. Indlægget forklarer, hvad det går ud på og hvad Diffie og Hellman har lavet.

Hvorfor er der kvaternioner i mit computerspil? Kvaternioner bruges til at beskrive rotationer. Vi fortæller, hvordan det hænger sammen. Og hvad kvaternionerne er.

Idag er det Einsteins fødselsdag. Hurra, hurra, hurra (og det er Pi-dag). Om tallet pi og hvorfor det dukker op så mange steder.

Abelprisen 2016 gik til Andrew Wiles.

Steffen Lauritzens tiltrædelsesforelæsning. Steffen tiltrådte som adjungeret professor. Indlægget handler om grafiske modeller, som Steffen har være primus motor i at udvikle.

Keplerproblemet er løst i dimension 8 og 24 Keplerproblemet drejer sig om kuglepakninger. Man kan pakke kugler i højere dimensioner. Og man kan spørge,hvor tæt de kan ligge. Det er nu besvaret i dimension 1,2,3, 8 og 24. Vi forklarer, hvordan det mon kan være, at det netop er de dimensioner.

Symmetri og kvasisymmetri. Friser, fliser, tapeter og krystaller. Symmetri har en helt bestemt betydning i matematik. Vi forklarer om, hvordan man “regner” med symmetri. Og om fliselægninger, der ikke har symmetri, selvom der bruges de samme fem fliser hele tiden.

Om ligningen på vores Flyt Verden sider. På AAUs “Flyt Verden” sider bruger vi ligningen e^{i\pi}+1=0. Her forklarer vi, hvad den betyder.

Lidt mere om symmetri og det, der ligner. Mønstre, der ser regulære ud, men ikke passer helt ind i beskrivelsen af symmetri, er måske dele af symmetri i højere dimension. Den indsigt – om kvasikrystaller – gav Nobelprisen. Vi forklarer noget af dette.

Matematik og vira. En meget ny anvendelse af symmetri er på virus og deres muligheder for at udvikle sig. Det fortæller vi om her.

Olympisk matematik. Mest om orden. Rangordning af lande efter OL-medaljer er en funktion fra medaljer til de naturlige tal. Der er mange måder at gøre det på. Bør funktionen også afhænge af befolkningens størrelse, af BNP, af …

Andre gode blogs. Jo, de findes. Henvisning til andre (fortrinsvis engelsksprogede) blogs og websites om matematik.

Hvordan kan man regne på/med information, man ikke kan se? Når flere firmaer eller personer vil udføre en beregning, sammenligning, auktion, afstemning… hvor deres “private” data indgår og andre ikke må få adgang til det, så har man brug for kryptografi. Secure multiparty computation er denne branche. Matematikken forklares her.

Den matematiske version af hønen og ægget. Hvad kom først, sinus, cosinus og \pi eller koordinatsystemet? Fra abstrakt analyse til linje, plan, vinkel. Herunder et argument for, at \pi er irrationalt og hvordan man kan finde så mange decimaler, man vil, hvis man kan differentier den inverse funktion til tangensfunktionen.

Sofa-konstanten og Euler-mursten. Nogle uløste matematiske problemer, som kan forstås. Hvor stor en sofa kan man skubbe gennem en gang, der knækker? Og findes der kasser hvis længde, bredde, højde, diagonaler på sidefladerne og hoveddiagonal allesammen er hele tal?

Retfærdighed og kager. Om at dele noget – kager, landområder,… så det er retfærdigt, eller alle bliver så tilfredse som muligt. Man skal først beslutte, hvad man mener med retfærdigt – der er flere muligheder. Misundelsesfrit er en mulighed. Vi forklarer de forskellige muligheder og en algoritme, som er helt ny, som laver en misundelsesfri opdeling i mange stykker af typen “du deler, din søster vælger først”. (OBS: Det er ikke bare lige store stykker. Måske kan du bedst lide flødeskum og din søster kan bedst lide chokolade.)

Collatzformodningen. Et uløst problem, som bl.a. bruges til at teste computere. Begynd med et tal. Hvis det er lige, så del med 2. Hvis det er ulige, så gang med 3 og læg 1 til. Gør det igen. Formodningen er, at du ender med at få 1.

Problemet med lykkelig slutning. Endnu et uløst problem. Din værste fjende har tegnet nogle punkter i planen – der må ikke ligge tre eller flere på linje. Hvor mange skal der være for at du altid kan vælge 4 af dem ud og forbinde dem til en konveks firkant (en, der buler udad). Svar: 5. Skal man lave en 6-kant er svaret 17. For en 7-kant (eller n-kant med n >6) ved vi det ikke.

Uafhængighed og noget om plat og krone. Slå et antal gange med en mønt. Er hændelsen “Der optræder både plat og krone undervejs” uafhængig af hændelsen “Plat optræder højst en gang” uafhængige? Man skal have defineret uafhængighed – derefter viser det sig, at de to hændelser er uafhængige, hvis man slår præcis tre gange, hverken flere eller færre.

Julenørderier. Matematisk julepynt… Bl.a. et Sierpinski-juletræ og en Møbiusjulekugle…

Helfgott finder fejl i Babais artikel om Grafisomorfiproblemet. Tidligere har vi skrevet om et nyt resultat om kompleksitet. Nu viser det sig at være forkert… måske.

AAU-matematikere går til filmen. Der er nu fire halvtimesfilm i serien 10 danske matematikere. AAU har leveret en om kodningsteori og en om geometri/topologi/dimension.

Grafisomorfialgoritmen er nu rettet. Der var en fejl, men den kunne rettes.

Rumudfyldende kurver – med anvendelser! Man kan lave en kontinuert kurver, som går igennem alle punkter i planen. Det er matematisk en vildt fascinerende opdagelse. Og det gav Cantor og andre sjælelige problemer… Og nu anvendes det til at arrangere højeredimensionalt data på en linje.

April i matematikkens og statistikkens tegn. Diverse henvisninger til materiale fra den amerikanske Mathematics Awareness Month, som i 2017 var om statistik. Også nogle videoer…

Polymath- matematik i fællesskab, online åbent for alle. Et nyt projekt under Polymath er Rotaformodningen, som vi forklarer her. Det handler om basis for vektorrum.

I morgen er det Einsteins fødselsdag. Og pi-dag. Mest om nogle opgaver, som har noget med \pi at gøre.

Abelprisen går til Yves Meyer. Om wavelets og Abelprisvinderens rolle i det område.

Den Gaussiske KorrelationsUlighed. Et bevis, der blev gemt og glemt. Har man data med to koordinater – højde, vægt eksempelvis – kan man tale om sandsynligheden for at punkter ligger i et område i planen. Her drejer det sig om et rektangel omkring punktet (gennemsnitshøjde, gennemsnitsvægt). Og sammenhængen med intervaller omkring hhv. gennemsnitshøjde og gennemsnitsvægt. Det forklarer vi bedre i blogindlægget…

Vores matematiske hjerne. Et link til en kronik, jeg skrev engang. Om at tænke på og med matematik.

Flyt Verden med Eulers formel. Om eksponentialfunktioner, sinus og cosinus, komplekse tal. Også noget om, at der er flere måder at indføre eksponentialfunktionen – matematik kan ses fra mange sider.

Fugle i flok, cellulære automater og emergens. Om simple regler, som giver anledning til komplekse mønstre og opførsel. Med udgangspunkt i en ny togstation i Campbridge.

Linjerede flader – struktur og design – og matematik. Man kan bygge smukt krummede flader ved brug af linjer. Hyperboloider og hyperbolske paraboloider. Vi giver matematik og billeder af bygninger.

Hvor mange forskellige trekanter findes der? Der er uendelig mange. Vi kvalificerer spørgsmålet og svarer i en vis forstand med en ny trekant. Det er matematikken kerneopgaver – klassifikation, præcisering af  spørgsmål, abstraktion… og jeg har ikke læst det andre steder.

Sandbunker – matematik, fysik og flotte billeder. Igen noget med simple lokale regler, som giver interessant global opførsel. Der er forbindelser til differentialligninger i fysik og igen smukke billeder.

 

 

Sandbunker – matematik, fysik, kombinatorik og flotte billeder.

I 1987 fandt fysikerne Bak, Tang og Wiesenfeld på “sandbunker” en model for “self organized criticality”. Det vil jeg ikke vove mig ud i at forklare i detaljer, men det svarer til en slags faseovergang, som vi kender det fra materialer, der går fra fast til flydende til dampform. Det selvorganiserede indikerer, at systemet kommer i en særlig fase uden man behøver at påvirke det med eksempelvis varme. Sandbunker er en slags generalisering af  cellulære automater, som vi har set på tidligere. Celulære automater kan give komplicerede mønstre, men det kræver lidt arbejde og sker bestemt ikke altid. Sandbunker gør det af sig selv. Det er aktuel forskning, der er forbindelser til mange områder, både i teoretisk fysik og i kontrol af robotter.

Her er et billede af sådan en sandbunke – fra Sandpile Galleries på Carnegie Mellon 

Andre havde opdaget sandbunkerne fra et kombinatorisk synspunkt – uden fysik. På billedet er farverne antal sandkorn i en pixel Blå = 0, lyseblå =1, gul=2, rødbrun=3.

Lidt at fundere over. Der er ret skarpe grænser mellem farverne. Nærmest fraktalagtigt.  Zoom ind på midten og se en blomsteragtig struktur

 

 

 

Zoom ind på randen og se spidser og bratte overgange – et randfænomen.

 

Man laver en sandbunke efter følgende regel: Opdel planen i felter, ovenfor er det

Hæld sand ud over – fordelt på hver pixel. Begynd nu en proces, hvor stablerne vælter efter en fast regel:

For eksempel:

Hvis der er mere end 4 sandkorn på felt (x,y), så fjern de fire og læg en på hver af (x+1,y), (x-1,y), (x,y+1), (x,y-1). Bliv ved med det. Billedet ovenfor er lavet ved at starte med 2^{30} sandkorn i origo og lade dem vælte ud. Nedenfor er man startet med 2^{16} sandkorn. Og nedenunder det har jeg zoomet ind på det med 2^{30}.

 


Zoom ind på det første billede:


Nogle grundlæggende egenskaber ved sandbunker:

  1. Det er lige meget, hvilket felt man “vælter” først. Resultatet bliver det samme efterhånden. Man siger, sandbunker er Abelske. OBS: For cellulære automater skal man udføre et “move” på alle pixels på en gang.
  2. Det stabiliserer. Uanset starten vil der efterhånden ikke være mere at vælte.

Mere generelt kan man erstatte opdelingen af planen i et gitter med en graf, hvor der er regler for, hvordan sand fordeles ud fra hjørnerne. eller man kan lave et andet gitter i planen.

Man kan lade området være begrænset, så sandet vælter ud over kanten, hvis det når en randpixel. Gør man det, vil sandbunken ende med i gennemsnit 2,125 sandkorn pr. pixel. Begynder man med at have 3 på hver pixel, vil det naturligvis forblive sådan. Men dropper man et enkelt sandkorn et sted, vil det starte en serie af laviner, som ender med ca. 2,125 korn pr. pixel. (Det har jeg læst i Nautilus)

Videoen viser et 255×255 grid, som har indstillet sig i ligevægt med 2,125 korn pr pixel. Man tilføjer et enkelt sandkorn (af gangen, I presume)  i midten og et smukt system af laviner udfolder sig. Farverne fortæller, hvor mange gange sandet i den den pixel “er væltet”.

David Perkinson og Brian Head har lavet software, hvor man kan lege med sandbunker.

 

 

Rotorregler – mobile overvågningsrobotter.

En anden type sandbunkeregler er rotorregler, som man eksempelvis bruger til at studere mobile overvågningsenheder. Hver pixel sender sandkorn (robotter) i retninger, som skifter cyklisk –  eksempelvis nord, øst, syd, vest. Hvis alle skifter i takt og starter mod nord kan man studere et sandkorn, der starter i Origo. Det gennemgår (0,0), (0,1), (1,1), (1,0), (0,0). Med aggregerede rotorregler stopper sandkornet, når det kommer til en fri pixel. Sandkorn nummer 1 vil stoppe i (0,0). Sandkorn 2 begynder, når pilene peger mod øst, så det stopper i (1,0) Sandkorn 3 sendes til (0,-1). De pixels, der er besat efter 3 skridt er altså \{ (0,0), (1,0), (0,-1) \}. Billedet nedenfor viser de pixels, der er besat efter 2^16 sandkorn er myldret ud fra Origo. Farverne er den retning, den pågældende pixel pegede, da den blev “besat”. Man må nok forestille sig, at de mobile enheder kigger i den retning. Billedet er fra artiklen Laplacian Growth, Sandpiles and Scaling limits.Lionel Levine og Yuval Perez, Bulletin of the AMS, Juli 2017.. Der kan man finde mange matematiske spørgsmål om sandbunker, både løste og uløste.

 

 

 

Studiepraktik – Besøg Institut for Matematiske Fag 25-26-27 oktober 2017

Kom og besøg os. Gymnasieelever er inviteret til tre dages besøg på Aalborg Universitet.

Vi har tre matematikuddannelser

  1. Matematik (som også omfatter statistik.)
  2. Matematik-Økonomi.
  3. Matematik-Teknologi.

Du kan få et indtryk af alle tre uddannelser plus lære noget matematik. Du møder nogen måske kommende medstuderende og hører om

Differensligninger ved Jakob Gulddahl Rasmussen

Signalbehandling med lineære filtre ved Zeineb Al-Jawahri 

Endelige legemer: Fejlkorrigerende koder og morgendagens kryptografi, ved René Bødker Christensen

Differensligninger og regression med økonomiske anvendelser, v/Esben Høg

Symmetri. I matematik, fysik, biologi og rundt omkring os v/ Lisbeth Fajstrup

Du får en introduktion til uddannelserne:

Karrieremuligheder og studievalg ved Morten Grud Rasmussen.

Og så er der mad, der er “after study”, fælles for alle, der er på studiepraktik og genrelt mulighed for at opleve både AAU og Aalborg. Læs mere på Studiepraktiksiderne for Matematikuddannelserne.

(Lige nu henvises til  programmet for 2016, men det bliver opdateret meget snart.)

 

Hvor mange forskellige trekanter findes der?

Dumt spørgsmål. Der er (mindst) to problemer: Hvad betyder forskellige? Og næsten uanset, hvad det betyder, så er der nok uendelig mange. Hvilket igen kan betyde flere ting, for vi har forskellige slags uendelig….

Det er typisk i matematik: Spørgsmålene skal justeres, før vi kan få et meningsfuldt svar.

I løbet af sommeren har der været forskelige “svar” på lignende spørgsmål: Hvor mange billardborde findes der med visse egenskaber (sætter man en kugle til at rulle, vil den enten i det lange løb komme vilkårligt tæt på alle punkter på billardbordet eller gentage den samme bane igen og igen) – se Quanta Magazine .

Hvis en femkant skal kunne bruges som eneste flise i en fliselægning, som dækker hele planen, hvad kan man så sige om den femkant? Svar: Der er 15 forskellige muligheder.

Tilbage til trekanterne. I skolen er to trekanter ens, hvis de er kongruente. To figurer er kongruente, hvis man kan få den ene til at ligge præcis oveni den anden ved at parallelforskyde og dreje  – og sommetider tillader man også spejling.

Paralleforskydning, drejning og spejling bevarer vinkler, længder og arealer, så vi har følgende

  1. Hvis to trekanter er kongruente, så er deres vinkler parvis ens.
  2. Hvis to trekanter er kongruente, så er deres sidelængder parvis ens.
  3. Hvis to trekanter er kongruente, så har de samme areal.

I geometri i gymnasiet eller grundskolen har de fleste set eksempler på argumenter “den anden vej”:

  • Hvis to trekanter har parvis ens sidelængder, så er de kongruente.
  • Hvis en vinkel og de to hosliggende sider er lige store, er de kongruente.
  • Hvis en side og de to hosliggende vinkler er lige store, er de kongruente.

Illustrationen er fra Wikipedia:

Lad os stille spørgsmålet igen: Hvor mange forskellige trekanter er der, når kongruente trekanter anses for ens?

Igen er svaret uendelig mange, men der er et bedre svar, nemlig en klassifikation. Ovenfor genkaldte vi resultatet fra gymnasiet: Hvis to trekanter har parvis ens sidelængde, så er de kongruente.

M er mængden af alle trekanter. Den opdeler vi  i kongruensklasser – en kongruensklasse K er en delmængde af M, hvori alle trekanter er kongruente og sådan at trekanter udenfor K ikke er kongruente med trekanter i K. Det giver en opdeling af M i delmængder, som ikke har noget fælles med hinanden – disjunkte delmængder. (Man kan vise, kongruens er en ækvivalensrelation og udlede det derfra. ) Notationen [T] står for den kongruensklasse, som indeholder trekanten T, altså alle de trekanter, som er kongruente med T.

Definer en funktion F:M -> \mathbb{R}^3  ved F(T)= (a,b,c), hvor a,b,c er sidelængderne for T og a\leq b\leq c.

Et par observationer:

F(T_1)=F(T_2) hvis og kun hvis T_1 er kongruent med T_2. Så vi kan definere

G: {kongruensklasser af trekanter } -> \mathbb{R}^3  ved G([T])=F(T).

Vi ville gerne kunne sige: Der findes præcis en kongruensklasse for enhver vektor (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 med 0 <x\leq y \leq z – det ville give en klassifikation; en direkte oversættelse fra trekanter til bestemte vektorer i rummet og tilbage igen. Altså en invers til funktionen G.

Men det er helt sikkert forkert: (1,2,4) er ikke sidelængderne i en trekant. – Den sidste sidelængde er “for lang”.  Det er ikke alle sådanne (x,y,z), som er i billedmængden for F.

Trekantsuligheder

I en trekant opfylder sidelængderne (a,b,c) følgende uligheder:

  1. a+b > c.
  2. b +c > a.
  3. a+c > b.

Når vi navngiver, så a\leq b \leq c, er ligning 2 allerede opfyldt. Ligning 3 kan udledes:
c+a\geq b+a >b, så nu er spørgsmålet:

Kan vi altid  finde en trekant med sidelængder (a,b,c), hvis bare (a,b,c) opfylder 0<a\leq b \leq c og a+b > c?

Det kan vi. Det kan man f.eks. se som følger:

Cirklen med centrum i (0,0) og radius a skærer cirklen med centrum i (c,0) med radius b i et punkt P, som ikke ligger på x-aksen. trekanten med hjørner (0,0), (c,0) og P har sidelængder som ønsket. Punktet P=(x,y) kan findes som skæringspunkt mellem de to cirkler, altså som løsning til et ligningssystem:

Ligningen for cirkel 1 x^2+y^2=b^2 og for cirkel 2 (x-c)^2+y^2=a^2. Det giver

x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c} og y=\pm\sqrt{b^2-\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4c^2}}. Der er to muligheder – cirklerne skærer hinanden ovenfor og nedenfor linjestykket (0,0) – (c,0).

Eller man kan bruge, at cirkler er kontinuerte kurver og se, at de passerer x-aksen i hhv. -b, b og c-a og c+a. Da c-a < b må de to kurver skære hinanden for at nå til yderpunkterne (-b,0) og (c+a,0).

Konklusion:

Der findes præcis en kongruensklasse af trekanter for hvert  (a,b,c)\in \mathbb{R}^3, som opfylder  0<a\leq b \leq c og a+b > c.

Det er et klassifikationsresultat. Det udnytter, at sidelængder er invariante under de flytninger, vi tillader i kongruensrelationen. Og omvendt, at trekanter med samme sidelængder er kongruente. Desuden skulle vi have skåret billedmængden for F til. Her kan vi endda konstruere en trekant med de givne sidelængder. Det kan man ikke altid i klassifikationsresultater – ofte ved man blot, der findes en.

Andre spørgsmål, man kan stille er.

  • Hvis afstanden fra (a,b,c) til (x,y,z) er lille, kan man så sige noget om afstanden mellem de tilsvarende kongruensklasser af trekanter? (Ja, hvis man definerer afstand mellem trekanter passende.)
  • Hvad kan man sige om 4-kanter?
  • Hvis trekanter er ens, når de er similære (den ene er kongruent til en skalering af den anden), kan man så klassificere dem? (Ja. Skaler, så den længste side er 1 – det må man godt, da similær=ens. der er nu en similaritetsklasse for hvert par (a,b) med 0<a\leq b\leq 1 og a+b\geq 1. Den mængde kan I tegne i planen. Det bliver en trekant med hjørner (0,1), (1,1) og (1/2,1/2). )
  • og meget mere….

Klassifikation er en matematisk grunddisciplin a la biologernes kortlægning af dyr og planter. Det er nysgerrighedsdrevet, men ofte også meget praktisk anvendeligt. Klassifikation af krystalstrukturer er matematik, men grundlæggende for kemi.