Monthly Archives: January 2016

Cantormængder – på den fede måde

I sidste uge skrev jeg (og især Horia) om Cantormængden. Der var et argument for, at Cantormængden har “længde” 0, fordi det, der fjernes, ialt har længde 1. Yderligere så vi, at Cantormængden er kompakt, ikke-tællelig og ikke har indre punkter. I konstruktionen af Cantormængden fjernes den midterste tredjedel af hvert tilbageværende interval, Man kunne spørge, hvad der ville ske ved “kun” at fjerne den midterste fjerdedel af hvert af de tilbageværende intervaller. Bliver der så ikke mere tilbage i den sidste ende? Svaret er, at det gør der ikke. Den samlede længde af det, der fjernes, er stadig 1. Men man kan fjerne mindre og mindre på en anden måde:

Den fede Cantormængde eller Smith-Volterra-Cantor-mængden er også ikke-tællelig, kompakt, har ingen indre punkter (den er sin egen rand), men den har længde 1/2. Den konstrueres næsten ligesom Cantormængden, men man fjerner mindre delmængder undervejs:

$800px-Smith-Volterra-Cantor_set.svg$ Start med det lukkede interval [0,1] og fjern den midterste (åbne) fjerdedel. Så har vi [0,3/8] U [5/8,1] tilbage. Nu fjerne vi den midterste sekstendedel fra hvert af de to intervaller og har så

$[0,\frac{5}{32}]\cup[\frac{7}{32},\frac{3}{8}]\cup [\frac{5}{8},\frac{25}{32}]\cup[\frac{27}{32},1]$

I hvert skridt fjernes et $\frac{1}{2^{2n}}$ langt stykke midt i hvert af de $2^{n-1}$ intervaller, der er tilbage. Ialt fjerner man $\frac{2^{n-1}}{2^{2n}}=\frac{1}{2^{n+1}}$ for n=1,2,3,… ialt

$\Sigma_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}}=\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+2}}=\frac{1}{4}\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{4}\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$

Så det tilbageværende har længde $\frac{1}{2}$ Det er den fede (eller en af de fede) Cantormængder. Når man tænker på, at der ikke er nogen indre punkter i mængde, er det altså virkelig underligt og en lille smule rystende: Der er en total længde på $\frac{1}{2}$ , men der er ikke nogen bittesmå “rigtige” intervaller i mængden.

Argumentet for, at der ikke er nogen indre punkter er som følger. Start med et punkt p i [0,1]. Uanset hvor lillebitte et $\varepsilon$ , du vælger, så er der i intervallet $]p-\varepsilon,p+\varepsilon[$ punkter, der bliver fjernet i processen. Så hvis p ligger i den fede (eller for den sags skyld den tynde) Cantormængde, så er der ikke mulighed for at tage $]p-\varepsilon,p+\varepsilon[$ med nok så lille epsilon, uden at få noget fra komplementet til Cantormængden (fed eller tynd) med.

Har man først fået ideen, kan man konstruere fede Cantormængder med andre længder. Det kan I eksempelvis læse om hos Evelyn Lamb på Scientific American. Der kan I også se, at Cantormængden (fed eller tynd) ikke er tæt uanset hvor lille et delinterval af [0,1], man vælger, så vil der i dette lillebitte interval være et delinterval, som er blevet fjernet. Ethvert punkt y i det indre af dette delinterval, kan adskilles fra Cantormængden med $y-\mu,y+\mu[$ som ikke indeholder noget fra Cantormængden (for lille nok $\mu$ . Cantormængder er intetsteds tætte. Men fylder alligevel, hvis de er fede…

Meget store primtal.

For godt en uge siden, 7. januar 2016 annoncerede GIMPS, at de har fundet endnu et Mersenneprimtal, nemlig 2^74.207.281-1. Det plejer at give en avisnotits eller to, men faktisk er det ikke i sig selv særlig interessant, hvor stort det største kendte primtal er. Vi ved nemlig, og har vidst det siden Euklid, at der er uendelig mange primtal; eller sagt på en anden måde: Uanset hvor stort et tal, nogen giver mig, så ved jeg, at der er primtal, der er større end det.

Men det er da fascinerende, at man ved, at netop tallet 2^74.207.281-1 er et primtal. Det har 22.338.618 cifre i titalssystemet, så ja, det er godt nok stort.

Mersenneprimtal er primtal på formen 2^p-1, hvor p i øvrigt også er et primtal. Ellers kan 2^p-1 ikke være et primtal: Man kan nemlig faktorisere

$2^{rs}-1=(2^s-1)(1+2^s+2^{2s}+2^{3s}+\cdots +2^{(r-1)s})$ , så hvis hverken r eller s er 1, har vi en faktorisering i ikke-trivielle faktorer.
Man kan sige mere end det, nemlig at primtal på formen $a^p-1$ altid har a=2 og p et primtal. Hvorfor? Jo, vi har lige set, at a-1 går op i $a^k-1$ (brug s=1 og r=k i formlen ovenfor, og sæt a ind i stedet for 2) og hvis a ikke er 2 giver det igen en ikke-triviel faktorisering.

Altså er 74.207.281 også et primtal.

De første Mersenneprimtal er 3 (p=2), 7 (p=3), 31 (p=5), 127 (p= 7), 8191 (p=13) og de har været kendt i mere end 500 år. På Sloanes website med lister over heltal, som Ege har skrevet om her på bloggen, kan man finde en liste over primtal, som er eksponenter i Mersenne primtal. Den er nu ikke ajourført med det seneste i skrivende stund. Da man i 1963 fandt ud af, at p=11.213 giver et Mersenneprimtal, (det er det 23. af de 49 kendte Mersenneprimtal) lavede Illinois et særligt poststempel:

$Fra Mathworld$

(Fra Eric Weissteins Mathworld)

GIMPS-projektet, Great Internet Mersenne Prime Search begyndte i 1996 som et af de første eksempler på “crowd sourcing” hvor mange stiller deres computere til rådighed for en større opgave. Det er interessant og senere brugt mange andre steder, at man på den måde fordeler beregninger til mange; og organiseringen af, hvordan man udnytter de mange mindre computere, er en opgave i sig selv – distribuerede beregninger er et område i datalogi.

Vi ved ikke, om der findes uendelig mange Mersenneprimtal, men med det seneste har vi da fundet 49. Hvis man vil finde meget, meget store primtal, så er Mersenneprimtal imidlertid et godt bud. Det er generelt svært at teste et stort tal for, om det er et primtal – og mere generelt at faktorisere et stort tal i sine primfaktorer. Men der er en test, Lucas Lehmer testen, som kun virker for tal på formen 2^p-1, altså potentielle Mersenneprimtal, og som er hurtigere end andre tests for tal i den størrelse. Derfor kan det være smart at tage forholdsvis store primtal, som 74.207.281, (dem kan man finde ved en af de sædvanlige tests), og se om 2^p-1 er et primtal. Og hvorfor vil man så finde store primtal? Tjah – af nysgerrighed, for at teste sin hardware, for at finde nye algoritmer til andre ting,… på “Why do people find these big primes?” er der en liste med 7 begrundelser:

Tradition!
For the by-products of the quest
People collect rare and beautiful items
For the glory!
To test the hardware
To learn more about their distribution
For the money?

Jeg kan afsløre, at punkt 7 ikke er en hovedbegrundelse.

$Fra Eric Weissteins Mathworld.$

Fra Eric Weissteins Mathworld.

Om punkt 6 kan man sige, det er svært at lave formodninger, hvis man kun har 49 Mersenneprimtal, men på Mathworld er der en graf med antallet af Mersenneprimtal Mp=2^p-1 med p < ln(x) (grafen til venstre på figuren). De finder bedste rette linje og skriver en anelse skeptisk: “If the line is not restricted to pass through the origin, the best fit is . It has been conjectured (without any particularly strong evidence) that the constant is given by , where is the Euler-Mascheroni constant” Nu må vi se, om nummer 49 ryger langt ved siden af linjen.

Når det er sagt, så bruges store primtal til kryptering, og det er helt fundamentalt i vores brug af netbanking og i det hele taget til hemmelig kommunikation over offentlige kanaler- Så jo, primtal er vigtige, algoritmer til at finde dem er vigtige, og ny information om primtal er altid fint.

Cantormængden

$Georg Cantor$

Georg Cantor

Cantormængden er et af mange eksempler på, hvor forunderligt og besynderligt de reelle tal opfører sig. Dette indlæg er skrevet med udgangspunkt i et oplæg fra Horia Cornean – jeg har bedt kollegerne om hjælp til ideer, så mine kæpheste ikke bliver de eneste i stalden…

Det er nemt nok at definere Cantormængden. Først lidt notation: For to reelle tal, a,b, er [a,b] det lukkede interval mellem a og b, altså de relle tal x, som opfylder $a\leq x\leq b$ .

(a,b) er det åbne interval, altså de reelle tal, der opfylder $a< x < b$ . Hvis $a\geq b$ , er der ingen tal i (a,b). Når $a\leq b$ har intervallet [a,b] længde b-a og intervallerne (a,b), (a,b], [a,b) har også længde b-a. Det er altså ligemeget, om endepunkterne er med. Længder kan lægges sammen, så længden af [2,3]U (5,7) er 1+2=3. En nulmængde er en delmængde med længde 0.

Start med det lukkede interval [0,1], og fjern så delmængder som følger:

Fjern først det åbne interval (1/3,2/3) . Det der står tilbage er [0,1/3] U [2/3,1]. Vi deler nu de to resterende intervaller i tre lige dele og fjerner de to åbne intervaller i midten.
Det som står tilbage er:

[0,1/9] U [2/9,1/3] U [2/3,7/9] U [8/9,1]

$Cantormængden er det sorte, der bliver tilbage. Her er fjernet de første 7 skridt.$

Cantormængden er det sorte, der bliver tilbage. Her er fjernet de første 7 skridt.

Den samlede længde af de tre intervaller, vi har fjernet indtil nu, er 1/3 + 2/9. Vi fortsætter med den same procedure ved at dele hvert interval i tre og fjerne de åbne intervaller som står i midten.

Efter den tredje runde, er den totale længde af det, vi har fjernet, $1/3 + 2/9 + 4/27 = 1/3(1+2/3 + (2/3)^2)$ . Efter $N+1$ trin har vi fjernt en åben mængde af samlet længde $1/3(1+2/3 + (2/3)^2+\ldots +(2/3)^N)$ . Den følge går mod 1 når $N$ går mod uendelig, dvs. det som står tilbage (Cantor mængden) har “længde” nul. (Læsere, der er bekendt med den geometriske række vil vide, at $\Sigma_{n=0}^\infty c^k =\frac{1}{1-c}$ når |c|<1 – brug dette med c=2/3. Andre læsere kan overveje, at $(1-c)(1+c+c^2+\ldots + c^N)=1-c^{N+1}$ , så $1+c+c^2+\ldots + c^N=\frac{1-c^{N+1}}{1-c}$ . Hvis |c|<1 går $c^{N+1}$ mod 0, når N går mod uendelig og så går $1+c+c^2+\ldots + c^N$ mod $\frac{1}{1-c}$ )

Hvert element “A” i Cantor mængden kan entydigt identificeres med et tal i intervallet [9,10] af typen a=9,18118188…; lad os forklare hvad det betyder: Hvis den første decimal efter kommaet af “a” er 1, betyder det, at A ligger i [0,1/3]. Hvis den første decimal efter kommaet af “a” er 8, så betyder det, at A tilhører intervallet [2/3,1]. Hvis de første to decimaler af “a” er 9,18 betyder det, at A er et punkt i [2/9,1/3]. Når “a” starter med 9,88 betyder det, at A er et punkt i [8/9,1]. Og så videre. Man kan tænke på, at tallene 1 og 8 siger, om man skal til venstre eller højre for det næste midterstykke, der er fjernet. Til hvert punkt i intervallet [9,10] på formen ovenfor er der præcis et element i Cantormængden. Og omvendt: Start med et element A i Cantormængden, så er det i enten [0,1/3] eller [2/3,1] – det giver første decimal. Den næste decimal er bestemt ved, om A ligger til venstre eller højre for den midterste tredjedel, der er fjernet i næste omgang osv.

Cantor mængden kan ikke tælles. Beviset bruger Cantors diagonalargument: Vi skal vise, at mængden at tal på formen 9,11881881… som ovenfor ikke kan tælles. Men først en definition

En mængde M er tællelig, hvis der kan laves en afbildning fra de naturlige tal $\mathbb{N}$ , altså “tælletallene”, 1,2,3,4,… til M, som rammer alle elementer i M, m.a.o. $f:\mathbb{N}\to M$ surjektiv. (Ikke alle vil kalde en endelig mængde for tællelig. Dem har vi med i denne definition. Man kan også lade funktionen gå den anden vej – fra M til de naturlige tal. Så skal man forlange, den er injektiv.)

Antag nu, at vi har en funktion $f:\mathbb{N}\to$ tal på formen ovenfor. Vi skal vise, at det ikke kan passe. Skriv tallene i rækkefølge, f(1), f(2),….. under hinanden:

$f(1)=9,a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}\ldots a_{1k}\ldots$ $f(2)=9,a_{21}a_{22}a_{23}a_{24}\ldots a_{2k}\ldots$ $f(3)=9,a_{31}a_{32}a_{33}a_{34}\ldots a_{3k}\ldots$

$f(n)=9,a_{n1}a_{n2}a_{n3}a_{n4}\ldots a_{nk}\ldots$
Nu laver jeg et tal, som ikke er talt med: $b= 9,b_1b_2b_2\ldots b_k \ldots$ givet som følger: Hvis $a_{kk}=1$ , så er $b_k=8$ og hvis $a_{kk}=8$, så er $b_k=1$ . Nu kan vi se, at $b$ ikke er med i billedet af f, for $b_n\neq a_{nn}$ og derfor er $b\neq f(n)$ for noget n.

Det vil sige, vi har bygget en mængde med længde nul som ikke er tællelig. Cantors mængde er også lukket, fordi det, vi fjerner fra [0,1], er en (tællelig) forening af åbne intervaller. Ifølge Heine-Borels sætning er Cantors mængde kompakt fordi den er både lukket og begrænset.

Cantors mængde har ingen indre punkter, fordi den tællelige forening af åbne intervaller som vi har fjernet indeholder punkter som ligger arbitrært tæt på ethvert punkt af Cantor mængden. Det kan I tænke over.

Hvordan man kommer til kort.

OK titlen er på onkelhumor-niveau. Jeg kunne ikke lade være. Det, jeg vil fortælle jer om, er matematikken bag kortprojektioner, altså at lave en god repræsentation af (en del af) den runde jord på et kort, som jo er fladt.

$Her ligger Svalbard.$

Her ligger Svalbard.

Da Politiken i december skulle vise læserne, hvor Svalbard ligger, brugte de dette kort. Det er rigtig nok, at Svalbard ligger der, hvor den blå pil er. Men det er alligevel ikke helt godt. Der er noget med størrelsesforhold: Svalbard ser ud til at være på størrelse med Storbritannien. I virkeligheden er Svalbard 61.000 km^2 og Storbritannien er 4 gange så stort. Der er også et problem med retninger. Hvor kommer man hen, hvis man flyver stik nord fra Svalbard og fortsætter i den retning (stik syd, når man passerer Nordpolen)? Det kan man ikke se her – Nordpolen er strakt ud til en ret linje i dette kort. Kortet er lavet i Mercatorprojektionen. Her kan man lege med arealer i Mercatorprojektionen.

$"Stereographic projection SW" by Strebe - Own work. Licensed under CC BY-SA 3.0 via Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stereographic_projection_SW.JPG#/media/File:Stereographic_projection_SW.JPG$

“Stereographic projection SW” by Strebe – Own work. Licensed under CC BY-SA 3.0 via Commons –

Her er en anden fremstilling af, hvor Svalbard ligger. Det er lidt gnidret, men giver et bedre indtryk af, hvor områder tæt på Nordpolen ligger i forhold til hinanden. Man kan nu se, at en tur stik nord fra Svalbard vil ende et sted i Alaska. Der er stadig problemer med arealerne. Projektionen er en stereografisk projektion.

$Google Earth. Nordpolen i centrum.$

Google Earth. Nordpolen i centrum.

Google Earth giver et andet billede – men man får igen et meget bedre indtryk af områder tæt på Svalbard.

Hvad er så det bedste kort? Det er ikke så svært at indse, at man får problemer, hvis man vil vise hele Jorden i et enkelt kort. Man er i hvert fald nødt til at lave et hul et sted, før overfladen af Jorden kan strækkes ud i planen. (Hvis man vil ikke vil have flere punkter på Jorden til at ligge oveni hinanden i kortet.)

Her er den matematiske formulering af, hvad et kort er: Man kan give punkterne på Jorden geografiske koordinater (længdegrad, breddegrad)= $(\lambda,\varphi)$ . Et kort er så en funktion $f(\lambda,\varphi)=(x(\lambda,\varphi),y(\lambda,\varphi))$ som tager to variable ind og giver to variable ud. For eksempel er Mercatorprojektion givet som $f(\lambda,\varphi)=(\lambda,\ln(\tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi}{2})))$

Google Earth – kortet er sådan cirka $f(\lambda,\varphi)=(\cos(\varphi)\cos(\lambda),\cos(\varphi)\sin(\lambda))$

Og Stereografisk projektion er $f(\lambda,\varphi)=\frac{2\cos\varphi}{1+\sin\varphi}(\cos(\varphi)\cos(\lambda),\cos(\varphi)\sin(\lambda))$

I alle tre eksempler, kan man skalere svarende til at squeeze på mobiltelefonen. Det svarer til at gange begge koordinater med en konstant (x,y) -> (kx,ky). Det ændrer ikke på de fundamentale egenskaber ved kortene. Nu kan vi regne på egenskaber ved kort og på et mere overordnet niveau spørge: Findes der kort, som opfylder xxx? Her er nogle spørgsmål og svar:

Findes der kort, der bevarer forholdet mellem arealer af landområder? Svar. Ja. (Se nederst for et eksempel)
Findes der kort, der bevarer vinkler? Svar: Ja. (Både Mercatorprojektion og Stereografisk projektion gør dette.)
Findes der kort med konstant målestoksforhold? Nej.
Findes der kort, som opfylder både 1 og 2? Nej.

3 og 4 siger, at der ikke findes et ideelt kort. Man må vælge det, der passer til formålet. Jeg vil ikke give et fuldt argument for 3 og 4 – det kan I jo komme til et af mine foredrag og høre om… Grundlæggende er problemet, at Jordens krumning forhindrer det.

Et kort argument for 3: Forsøg at lave sådan et kort med Nordpolen i centrum. lad os sige, det skal have målestoksforhold m. De punkter på Jorden, hvis afstand til Nordpolen er 50 km (afstand langs med Jordens runde overflade). skal i kortet have afstand $50\cdot m$ km til punktet, der er f( Nordpolen). De ligger altså på en cirkel i planen med omkreds $2\pi\cdot m\cdot 50km$ . Ser vi nu på den tilsvarende cirkel på Jorden, der altså udgøres af punkter 50 km fra Nordpolen, når man måler langs Jordoverflade, så er dens omkreds mindre end $2\pi 50 km$ . (Man går lidt “ind mod midten”, mens man går fra Nordpolen langs Jordoverfladen) Så skaleringsfaktoren langs denne cirkel er ikke målestoksforholdet m. Og altså er der ikke konstant målestoksforhold.

I Danmark har vi flere kort i spil. De er allesammen vinkelbevarende, da det er væsentligt for opmåling og gør, at “facon” bevares nogenlunde (og da man ikke kan få alting…): Mercatorprojektionen bruges til havområderne, og for landområderne har vi Transversal Mercator Projektion – Mercatorprojektion, hvor man først har drejet kuglen, så en længdegrad er lagt ned på Ækvator. Man skal vælge to ting: Hvilken længdegrad skal være i midten – midtemeridianen og hvad er variationen, afvigelsen fra hovedmålestoksforholdet (målestoksforholdet er jo ikke konstant, men hvor galt må det gå) det fortæller implicit, hvor bredt kortet bliver. I Danmark har vi UTM med målestoksvariation $0,9996 \leq m\leq 1,0004$ og to zoner: Zone 32 med midtemeridian $lambda=9^{\circ}$ og Zone 33 med midtemeridian $lambda=15^{\circ}$ (Bredden på zonerne er altså $3^{\circ}$ til hver side. I virkeligheden bruger vi Zone 32 i hele landet undtagen Bornholm, men det er en anden historie.)

Vi har også DKTM, Dansk Transversal Mercator. Der er 4 Zoner med en målforholds afvigelse på maksimalt $0,99998\leq m\leq 1,00002$ . DKTM har to zoner i Jylland. Kravet om lille variation af målestoksforholdet giver altså flere zoner, så man må vælge. Få zoner eller lille variation. Det er jo bøvlet at skifte kort 14 gange, når man skal køre fra Aalborg til Thisted, så det vil man gerne undgå.

I Danmark vedligeholdes kort af Geodatastyrelsen og der kan man også læse lidt om matematikken bag. Noget af det, de skriver, kan jeg kende fra mit eget kursus for landinspektørstuderende, men det har en hel generation af landinspektører også været igennem. Og de bliver jo også ansat i Geodatastyrelsen. Lige nu kan jeg faktisk ikke finde noget som helst om teorien bag kort, referencenet etc. på deres hjemmeside, men det er måske fordi de er ved at flytte hele molevitten til Aalborg, så de har nok at se til.

$Archimedes' arealbevarende cylinderprojektion,$

Archimedes’ arealbevarende cylinderprojektion,

Her er en arealbevarende projektion. Som I kan se, er der problemer med faconen på områderne til gengæld.

Matematikfilm fra gamle dage.

Jeg har postet dette på Facebooksiden, men nu kommer det også her.

I slutningen af 1950’erne og godt 10 år frem producerede Mathematical Association of America videoer til understøttelse af matematikundervisningen.
Her er en om middelværdisætningen. . Der optræder en politimand og en anvendelse, som giver en studerende en fartbøde…Den er lavet af Bruce og Katherine Cornwell i 1966 og nu lagt på Vimeo af Eric Cornwell – en søn formentlig.

Der er mange andre af Cornwells film på Vimeo.

Om Grænseværdier, Pythagoras, omdrejningslegemer og andet godt. Den om omdrejningslegemer er ret kunstnerisk lavet-

Nu kan jeg minsandten embedde Vimeovideoer! Tak til support hos AAU’s IT-folk

Nyt år i matematik

Godt Nytår! Jeg vil undlade at skrive om diverse egenskaber ved tallet 2016 – læs om dem ved at følge linket. I stedet vil jeg lade mig inspirere af Ingrid Daubechies.

$Ingrid Daubechies$

Ingrid Daubechies

Hun skrev i december et indlæg i Quanta Magazine “Big Data’s Mathematical Mysteries.” Hun beskriver forholdet mellem anvendt matematik og det, der tidligere hed “ren” matematik og nu ofte kaldes nysgerrighedsdrevet matematik. Jeg ved ikke, om jeg med dette får sagt andet og mere end Daubechies, men i matematik (og videnskab i det hele taget) har vi tradition for at “stå på kæmpernes skuldre“, så det kan jeg jo gøre.

Først lidt om Ingrid Daubechies: Hun er mest kendt som kvinden bag Wavelets – især for at have bragt wavelets fra teori til praktisk anvendelse. Wavelets bruges i signalbehandling og i komprimering af billeder og er bl.a. implementeret i JPEG2000 og til effektiv lagring af (og søgning efter) fingeraftryk i FBIs fingeraftryksdatabase. Her forklarer Arne Jensen, hvad Wavelets går ud på. Det stammer fra Numb3rsbloggen.

I Daubechies artikel citerer hun som indledning Eugenio Calabi for, at matematikere, der har en anvendelse som drivkraft (fremover kaldet anvendte matematikere) og matematikere, der er drevet af nysgerrighed (fremover kaldet rene matematikere), reagerer forskelligt, når de møder en forhindring: De rene matematikere vil indskrænke det problem, de kigger på, hvorimod de anvendte vil kigge sig om efter noget andet matematik at angribe problemet med. Noget andet værktøj.

At bringe resultater fra matematikkens indre og ud til praktisk anvendelse er ikke let. Nye områder såsom big data, kontrolteori, kvantecomputere,… har ofte behov for al den matematik, man kan kaste efter det. I den forstand, at når en fra sådan et område lærer sig noget ny matematik, så kan det meget ofte give bedre algoritmer eller ny forståelse. Når der er brug for noget nyt i en anvendelse kan man ofte finde svaret ved at tale med en fra det rette område af matematikken. Der kommer hvert år 100.000 nye matematiske artikler og matematikken er delt op i mere end 6000 underpunkter i MSC, Klassifikation af matematiske emner for eksempel er punktet Number theory delt op i 250-300 underpunkter (jeg har muligvis talt lidt forkert…). det er altså ikke let at finde den, man skal have fat i. Sommetider bliver den samme matematik så “genopdaget” i en anden sammenhæng, og der kan gå en rum tid, laves nye definitioner og beviser og skrives artikler, inden nogen opdager sammenfaldet.

Omvendt udvikles der også ny “ren” matematik med udgangspunkt i et behov fra en anvendelse. Det er ikke altid, matematikerne har den matematik klar, som skal bruges. Langt det meste af den rene matematik har sin oprindelse i anvendelserne, men det kan godt være, man har bevæget sig langt væk fra den oprindelige anvendelse. Det sker for eksempel ved, at man generaliserer/abstraherer. Fordelen er, at det på den måde bliver udkrystalliseret, hvad den underliggende struktur for problemet er. Og vupti er det klar til anvendelser i helt andre områder – hvis man da kan finde den matematik, når man skal bruge den.

Tilbage til Daubechies’ artikel. Hun skriver om “Deep Learning” – det, der i 80’erne hed neurale netværk er nu organiseret i lag, hvor output fra et lag er input til det næste – så har man deep learning – det lyder også smart. Der er andre eksempler og det falder ind under “machine learning”. Et deep learning system lærer fra eksempler og skal så kunne behandle nye tilfælde fornuftigt. Ifølge Daubechies, fungerer dette meget bedre, end matematikerne ville forvente:

$I et billede, som kun er støj, har et deep learning netværk fundet på noget selv$

I et billede, som kun er støj, har et deep learning netværk fundet på noget selv.

Man kan tænke på, at det drejer sig om at tilnærme en funktion (et billede kan eksempelvis også betragtes som en funktion) med bedre og bedre nøjagtighed for hvert “lag” i deep learning netværket. Man ved, at det vil give en rigtig god tilnærmelse, hvis man har nok lag. (Når antallet går mod uendelig) Men det ser ud til fra de praktiske erfaringer, at man kan nøjes med meget færre lag end forventet. Man bruger et sted mellem 2 og 15-20 lag. Det er “deep”. Jeg ved, som I nok har kunnet se, ikke meget om deep learning, men det kan I nok Google jer til. Googles Brain projekt har deep learning og har her i efteråret frigivet softwaren Tensor Flow som Open Source. Så der er nok at lege med…

$Igen fra støj til indhold. Her er netværket blevet bedt om at kigge efter bygninger i et billede, som kun er støj. Eller er det...$

Igen fra støj til indhold. Her er netværket blevet bedt om at kigge efter bygninger i et billede, som kun er støj. Eller er det…

I juni så vi flippede billeder lavet af deep learning netværk, som blev bedt om at “forbedre” kornede billeder. Jo, de drømmer om elektriske får.

Vi har samme fænomen andre stedet i matematik, hvor et værktøj virker bedre, end forventet – man når tæt på en grænseværdi i meget færre skridt, end man kunne forvente. Og så bliver det spændende, for så er der brug for helt ny matematisk indsigt. Som så giver nyt værktøj etc.

Mit lidt forsinkede nytårsønske er, at der fortsat vil være plads til både nysgerrighedsdrevet og anvendelsesdrevet forskning i matematik.