Uafhængighed og noget om plat og krone

Tak til Jesper Møller for ideen til følgende, som egentlig er en opgave i et kursus om Bayesiansk statistik:

Hvornår er to begivenheder/hændelser uafhængige? Det kan man få en lang filosofisk diskussion ud af, men i matematik er der en definition.

To hændelser A og B er uafhængige, hvis sandsynligheden for, at både A og B indtræffer, er produktet af sandsynligheden for A og sandsynligheden for B.

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$

Nu slår vi plat og krone med en ærlig mønt (altså en, der giver plat med sandsynlighed 1/2 og krone med sandsynlighed 1/2 – og aldrig lander på kanten…)

Vi slår et antal gange – kald det n. Det er altså et eksperiment: Slå n gange med en ærlig mønt. (Hvis du kun har Mobile Pay, kan du slå plat og krone hos Random.org Du kan endda vælge at gøre det med danske ti-kroner)

A er hændelsen: Der optræder både plat og krone undervejs.

B er hændelsen: Plat optræder højst en gang.

Er A og B uafhængige?

De mulige udfald kan beskrives som følger/ord PPKPKKP med længde n. Der er altså $2^n$ mulige udfald af vores eksperiment.

n=1: Mulige udfald er { P, K }

n=2: Mulige udfald er { PP, PK, KP, KK}

n=3: Mulige udfald er { PPP, PPK, PKP, KPP, KKK, KKP, KPK, PKK}

n=4: {PPPP, PPPK, PPKP, PKPP, KPPP, PPKK, PKPK, KPPK, KPKP, KKPP, PKKP, KKKP, KKPK, KPKK, PKKK, KKKK}

og så orker jeg ikke lige mere, men her er fem 10-kroner, i PHPPP.

reverse obverse reverse reverse reverse

Hændelsen A sker netop, når vi ikke har slået plat i alle slag eller krone i alle slag. Så det sker i $2^n-2$ tilfælde ud af de $2^n$ mulige. Sandsynligheden er så $P(A)=(2^n-2)/2^n= 1-2^{1-n}$

Hændelsen B (højst en plat) sker, når alle n slag er krone KKKK…KK eller når der er en enkelt plat: PKKK…KKK, KPKKKK…KKK, KKPKKK…KKK etc. Der er n muligheder for en enkelt plat og 1 for ingen, så der er n+1 ialt. Vi konkluderer $P(B)=(n+1)/2^n=(n+1)2^{-n}$ .

A OG B indtræffer, hvis vi i mulighederne for B udelukker at have kun krone. Det er der sandsynlighed $P(A\cap B)=n/2^n=n\cdot 2^{-n}$ for.

Svaret på, om (eller for hvilke n) A og B er uafhængige er: Når/hvis $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . Altså når $n\cdot 2^{-n}=(1-2^{1-n})(n+1)2^{-n}$

Reducer ligningen – gang med $2^n$ og få $n=(1-2^{1-n})(n+1)$ udregne parenteser og reducer til $2^{n-1}=n+1$ . n=3 er en løsning og der er kun en løsning (venstresiden vokser eksponentielt og højresiden er en linje, så de skærer højst en gang).

De to hændelser er altså uafhængige, når man slår tre gange, men ikke hvis man slår flere gange eller færre!