I Storbritannien har de overtrådt en af matematikkens love (se nedenfor, hvilken overtrædelse, det drejer sig om), da de tegnede fodbolde på vejskiltene:

Det har fået Matt Parker, til at lave en underskriftsindsamling mod dette uvæsen. Matt Parker er “Stand up Matematiker” og mener det nok på den ene side ikke så alvorligt og på den anden side er det en mulighed for at få matematik på dagsordenen, som netop Matt nok ikke vil overse.

Problemet med de fodbolde er, at de er dækket af et mønster af sekskanter. Her går jeg ud fra, at skiltemaleren tænker sig mønsteret fortsætte på hele fodbolden. Man kan ikke sætte sekskanter sammen, så de dækker en fodbold. En traditionel fodbold har en blanding af sekskanter og femkanter.

Hvor ved vi så det fra? Svar: Det siger Euler.

Eulerkarakteristik

En polygon har lige mange hjørner og kanter:

En polygon er (i denne sammenhæng) en cirkel, som er knækket og rettet ud, så der bliver et antal linjestykker (kanter) og knækpunkter (hjørner). Hvis man bliver mere liberal i sin definition gælder ovenstående muligvis ikke – og det kan være sværere at definere, hvad kanter og hjørner er.

Et polyeder får man ved at opdele kuglefladen i trekanter, firkanter, femkanter,….  – kald dem sider efter følgende regler:

1. To sider kan mødes i et hjørne, en fælles kant eller slet ikke
2. En side skal være det, der ligger indenfor en polygon – som ovenfor.

Eulers polyederformel siger om sådan et polyeder:

Antal sider – Antal kanter + Antal hjørner =2.

Traditionelt skriver vi .

F for “faces”, E for “edges”, V for “vertices”.

Man får 2, uanset, hvordan vi har delt kuglefladen op efter opskriften ovenfor.

Tilbage til den britiske afstemning og vejskiltene:

Hvordan ved vi, man ikke kan sy en fodbold af sekskantede stykker? (Hvor man overholder ovenstående princip om at mødes langs enten kant, hjørne eller ikke mødes. Man kan naturligvis godt sy to sekskanter sammen til en besynderlig fodbold. ) Lad os antage, at vi har syet sådan en fodbold.

• Alle kanter deles af præcis to af stykkerne og der er 6F kanter, inden vi syr sammen. Heraf:
• Ved hvert hjørne er det mindst tre stykker, der mødes (Er der kun to, vil de dele mere end én kant.) Der er 6F hjørner, inden vi syr sammen.
  Heraf:

(tænk over det. )

Nu regner vi – sætter ligning og ulighed ind:

men vi ved jo , så den går ikke.

Hvor mange femkanter skal man bruge sammen med sekskanterne?

Hvis vi laver fodbold med femkanter og sekskanter, og forlanger, præcis 3 skal mødes i hvert hjørne, så får vi ved ræsonnementet ovenfor

Flyt lidt rundt og få 

Leddene med går ud. Tilbage står, at der skal være præcis 12 femkanter. Uanset antallet af sekskanter. Jeg ved ikke, hvor mange sekskanter, man kan have. 0 er ok – det giver et dodekaeder. 20 er også ok – det giver en sædvanlig fodbold.

 

Sekskanter og baderinge:

Hvis man ikke syr fodbolde men baderinge, kan man godt lave dem af sekskantede stykker:

Hvis vi dækker en torus (en badering) med stykker som ovenfor og tæller F, E, V, så får vi . Eulerkarakteristikken af en torus er 0. Nu kan vi ikke afvise, at vi kan dække med sekskanter – kravet var jo . M.a.o. skal vi sy en torus af sekskanter, så skal de mødes præcis tre i hvert hjørne.

Regulære polyedere:

går vi tilbage til opdeling af kuglefladen ved vi, den ikke kan dækkes af sekskanter. Lad os sige, vi vil dække med n-kanter (vi ved ikke, hvad n er, men det skal holdes fast.) Og at der skal være tre, der mødes ved hvert hjørne. Så siger Euler

Reducer og få

F er positivt og . Altså er , så kan være 1,2,3,4,5, men det er antal sider i en polygon, så 1,2 duer ikke. man kan altså kun bygge regulære polyedere med trekanter, firkanter og femkanter.

Kig lidt nærmere på det (eksempelvis skal der og være hele tal, da de er antal hhv. kanter og hjørner) og (gen)find de fem regulære polyedere:

Mere luft under vingerne:

Eulerkarakteristik har mange anvendelser, kan generaliseres til højere dimensioner, kan sige noget om datamængder og meget mere. Lidt mere tilgængeligt. Hvor mange kan man  sætte sammen med de 12 femkanter, hvis man vil lave en ny slags fodbold med femkanter og sekskanter?