Mystiske hændelser i højere dimensioner

Tidlige computerspil var “flade” – karakterne kunne hoppe over, men ikke “til siden”. Nu er de naturligvis rumlige – på den flade computerskærm. Man kan så gå udenom i stedet for at forsøge at hoppe over. Men man kan stadig være fanget i et låst lokale. Hvis man har en fjerde dimension kan man bruge den til at “gå udenom”. Det er der nogen, der har lavet spil med – her er et forsøg, som muligvis ikke er realiseret:

Matematikere og anvendere af matematik har ikke noget problem med at tale om eksempelvis data i dimensioner højere end 3. For en gymnasieelev kan det lyde meget besynderligt og mange spørger “Er den fjerde dimension så tiden?” Men for daglige brugere af modeller for fysik, biologi, økonomi og helt generelt højere dimensionalt data, er det slet ikke noget, vi overvejer.

Et punkt (1,-3,7,0,534,14) ligger for os i dimension 6, det 6-dimensionale rum. Der er nemlig 6 koordinater. Vi kalder dette rum for $\mathbb{R}^6$ (udtales “r seks” og ikke “r i sjette”) At vi så ikke lige kan tegne det ind i et koordinatsystem er en anden sag. Man kan sagtens regne med 6 koordinater uden at tegne. I det følgende tænker jeg ind imellem på sådan et punkt som en vektor – fra Origo til (1,-3,7,0,534,14) – og ind imellem som et punkt.

Nedenunder er a = $(a_1,a_2,\ldots, a_6)$ og b= $(b_1,b_2,\ldots, b_6)$

Addition og multiplikation med en skalar (et tal):

$\mathbf{a+b}= (a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots, a_6+b_6)$

$k\mathbf{a}=(ka_1,ka_2,\ldots,ka_6)$ (her er k et reelt tal.)

Afstand, vinkler, indre produkt.

Der er flere afstandsbegreber (metrikker), men den historie får I en anden gang. Her går vi med den Euklidiske version, som er den, de fleste er vant til. Jeg skriver alt i dimension 6, men det er naturligvis samme historie i dimension 238:

Skalarprodukt (indre produkt): $\mathbf{a\cdot b}= a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_6b_6$ – gang koordinater sammen parvis og læg resultaterne sammen.

Længden $|\mathbf{a}|=\sqrt{\mathbf{a\cdot a}}$

Afstand: Afstand mellem punkter er længden af vektoren, der forbinder dem: $|\mathbf{a-b}|=\sqrt{\mathbf{(a-b)\cdot (a-b)}}$

Vinkler: Vinklen v mellem a og b kan findes udfra

$\cos(v)=\frac{\mathbf{a\cdot b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$

Kugler og kuber.

Cirkler i planen og kugleflader i rummet med centrum C og radius r, er begge karakteriseret ved, at det er du punkter, der har afstand r til et punktet C. Det kan umiddelbart generaliseres:

Kuglefladen med centrum i C=(c_1,c_2,\ldots,c_6) og radius r er de punkter, der opfylder $|\mathbf{x-C}| =r$ Med centrum i Origo og radius 1 får vi

$S^5=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^6 |\mathbf{x}|=1\}$ , de punkter i $\mathbb{R}^6$ , som har længde 1. Hvorfor $S^5$ og ikke $S^6$ ? Fordi sådan en kugleflade har en dimension mindre – ligesom man kan have planer i $\mathbb{R}^3$ . Den historie må også vente… Kuglefladen i $\mathbb{R}^3$ er altså $S^2$ og $S^1$ er en cirkel.

Rektangler og kasser kan også fint generaliseres. De punkter, der opfylder $0\leq x_1 \leq 5, 2\leq x_2\leq 4, -3\leq x_3\leq 5, 1 \leq x_4\leq 2, 1 \leq x_5\leq 2,1 \leq x_6\leq 2$ er en kasse, et hyperrektangel om man vil.

Der er mere om kugleflader (kugler) i blogindlægget om kuglepakninger

Den “tesseract”, der vises i filmen ovenfor, er en kube i $R^4$ , en hyperkube. Altså punkter $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ , hvor alle koordinater ligger mellem 0 og 1. Ydersiden af sådan en kube er der, hvor mindst en af koordinaterne er enten 0 eller 1. En sædvanlig kube har 6 sideflader: $(0,x_2,x_3)$ $(1,x_2,x_3)$ $(x_1,0,x_3)$ $(x_1,1,x_3)$ $(x_1,x_2,0)$ $(x_1,x_2,1)$ .

En hyperkube har 8 kuber på sin “overflade”: $(0,x_2,x_3,x_4)$ $(1,x_2,x_3,x_4)$ , $(x_1,0,x_3,x_4)$ $(x_1,1,x_3,x_4)$ $(x_1,x_2,0,x_4)$ $(x_1,x_2,1,x_4)$ $(x_1,x_2,x_3,0)$ $(x_1,x_2,x_3,1)$ . De hænger sammen – ligesom sidefladerne på en sædvanlig kube. Man kan selvfølgelig ikke se det i vores sædvanlige dimension, men man kan lave en film, hvor man ser projektionen af en roterende hyperkube:

En sædvanlig kube, der roterer kan vores hjerne straks lave 3d, selvom den er på en 2d skærm:

File:Hexahedron.gif

Kurver og kontinuitet.

Det går jo fint med at generalisere det, vi kender fra plan og rum. Nu prøver vi med kurver. vi skal jo snyde i et spil og komme ud af et lukket rum ved at bruge en dimension mere.:

En parametriseret kurve i $\mathbf{R}^n$ er en funktion $r: \mathbf{R}\to\mathbf{R}^n$ , $r(t)=(r_1(t),r_2(t),\ldots,r_n(t)$ , funktionen tager én koordinat ind og giver n koordinater ud. Man kan også sige, at den består af n koordinatfunktioner.

Kontinuitet: Gymnasieintuitionen om “ikke at løfte blyanten” har det svært, når blyanten skal tegne noget i højere dimensioner. I får definitionen at tygge på, men faktisk kan jeg nøjes med sige $r: \mathbf{R}\to\mathbf{R}^n$ , $r(t)=(r_1(t),r_2(t),\ldots,r_n(t)$ er kontinuert, hvis alle koordinatfunktionerne er kontinuerte.

Her er definitionen: $r: \mathbf{R}\to\mathbf{R}^n$ , $r(t)=(r_1(t),r_2(t),\ldots,r_n(t)$ er kontinuert i $t_0$, hvis der til ethvert $\varepsilon >0$ findes et $\delta>0$ , så $|t-t_0|< \delta$ garanterer, at $|r(t)-r(t_0)|<\varepsilon$

Jeg illustrerer, hvordan man kommer ud af et kugleformet rum – I kan selv oversætte til noget med kasser:

Hvis en 2d-computerspilsfigur er spærret inde i cirklen $S^1$ og kun kan bevæge sig i planen, så kan den ikke komme ud (uden at krydse gennem cirklen): Lad os antage, jeg har bevæget mig ud langs kurven $(r_1(t),r_2(t))$ startende med t=0 sluttende med t=1. Det er en kontinuert kurve (ellers kan alt lade sig gøre i det computerspil 🙂 ).

Så er $|(r_1(0),r_2(0)|<1$ , fordi jeg begynder indenfor cirklen. Og $|(r_1(1),r_2(1)|>1$ , fordi jeg ender udenfor. Nu påstår jeg, at der er et tidspunkt $t_0$ , hvor $|r(t_0)|=1$ . Hvorfor? Jo, den sammensatte funktion $g(t)= |r(t)|$ er kontinuert og g(0)<1, g(1)>1. Så siger mellemværdisætningen, at der findes $t_0$ , hvor $|r(t_0)|=1$ .

Hvis den 2d-computerspilsfigur får sig en ekstra dimension, så kan den komme ud – den hopper over kanten:

Lad os starte i (0,0), som nu udvides med en dimension – vi starter i (0,0,0).
Første del af kurven er r(t)=(0,0,t) for t mellem 0 og 1.
Næste del er r(t) = (t-1,0,1) for t mellem 1 og 3 – nu er vi kommet til punktet (2,0,1).
Sidste del er r(t)= (2,0,4-t) for t mellem 3 og 4. Nu er vi i punktet (2,0,0) og vi folder den tredie dimension sammen igen.

Jeg passerer naturligvis igen et sted, hvor |r(t)|=1, men det er i punktet (0.0.1), som jo ikke ligger på cirklen. Jeg hopper over.

Hvis jeg er lukket inde i $S^2$ kan jeg komme ud med samme trick: Jeg starter i (0,0,0). Folder min fjerde dimension ud og er nu i (0,0,0,0). Den kontinuerte kurve ud er

(0,0,0,t) for t mellem 0 og 1. Så er vi i (0,0,0,1)
(t-1,0,0,1) for t mellem 1 og 3. Så er vi i (2,0,0,1)
(2,0,0,4-t) for t mellem 3 og 4. Vi ender i (2,0,0,0) of folder den fjerede dimension ind igen.

Der er naturligvis et tidspunkt, hvor |r(t)|=1, nemlig i punktet (0,0,0,1), men det er ikke på $S^2$ , som er punkter (x,y,z,0). Jeg er “hoppet over” via den fjerde dimension.

Har man knuder på snørebåndene eller på sit strikkegarn, kan man også have nytte af en fjerde dimension. Der kan alle knuder løses op…