Det fine mønster på billedet er lavet af en projektgruppe på første semester for en del år siden. Deres vejleder, Steffen Lauritzen, har skrevet om projektet og dette mønster i gulvet i den gamle Hafniabygning, nu Codan. Der laves mange sjove projekter på første semester, men det er nu meget sjældent, der ligefrem findes ud af noget, ingen vidste i forvejen. I dette projekt fik grupperne at vide, at gulvet i Hafniabygningen er lavet, som jeg beskriver nedenfor, og en af grupperne fandt ud af, at grundtallet til at lave det var 71 (og det vidste vejlederen ikke, og det var der heller ikke andre, der gjorde). Lad mig tilføje, at projekter ofte har mere “anvendelsesagtige” anvendelser en dette – om spredning af sygdomme, om aktiekurser, om at bygge højttalere,…  I anledning af julen skal I have noget pænt at kigge på. Så jeg vil fortælle, hvad det fine mønster har med matematik at gøre. (Jeg har lige hørt, at der er nogen, der strikker sokker med den slags mønstre – det får i mere om, hvis jeg finder ud af noget)

De hele tal kan skrives som et produkt af primtal. Og et helt tal har kun en opsplitning i primfaktorer, (bortset fra, at man kan bytte om på rækkefølgen i produktet, men det gælder ikke).

I skolen har vi lært at gange tal sammen. Først positive hele tal og efterhånden også reelle tal, men der er mange andre “gangeoperationer” i matematik. Det helt generelle version hører til i området algebra. Her  vil jeg se på at gange punkter i planen sammen.

Opskriften er: (x,y)*(z,w)=(xz-yw, xw+yz)

Det er lettere at huske, hvis man betragter punkter i planen som komplekse tal. I stedet for (x,y) skriver vi x+iy hvor i er et nyt tal, som er en kvadratrod af -1. M.a.o. .

Bruger man nu de sædvanlige regler for at gange ind i paranteser, så er(x+iy)*(z+iw)= xz-yw + i(xw+yz) Man skal bare huske, at , så kommer resten af sig selv, hvis man kan regne med paranteser…

I de komplekse tal har vi de Gaussiske heltal – tal på formen n+im, hvor n og m er hele tal, og vi kan spørge, om et Gaussisk heltal er et produkt af andre Gaussiske heltal. For at undgå platte eksempler, kræver man, at disse tal ikke er i, -i, 1 og -1 (da disse går op i hvad som helst – vi synes ikke er en faktorisering). Et Gaussisk heltal, som ikke kan skrives som et produkt af andre, er et Gaussisk primtal.

De hele tal er en del af de Gaussiske heltal – de er blot tal på formen n+i0. Men det, der tidligere var primtal, er ikke nødvendigvis Gaussiske primtal. For eksempel er 5 ikke et Gaussisk primtal, da . Men 7 er. Figur 2 viser de Gaussiske primtal som punkter i planen.

Zoomer man ind (se figur 3) kan man se, det er et rigtig fint mønster.

Det mønster, jeg har sat ind i starten, bruger lidt mere matematik.

Vi skal bruge regning “modulo et tal” og kvadratiske rester. I mønstrene er valgt et Gaussisk heltal c. Et Gaussisk heltal d er en kvadratisk rest modulo c, hvis der findes Gaussiske heltal x og z så altså c går op i i vores nye talsystem.  Det skriver man . Hvis nu d faktisk har en heltallig kvadratrod er det særlig nemt – man lader bare z=0.

Mønstrene laves ved at inddele planen i 1×1 felter og nummerere dem efter det Gaussiske heltal eksempelvis er  5+2i  feltet med midtpunkt (5,2). I mønstrene farver man feltet svarende til d, hvis d er en kvadratisk rest modulo c.  For c=7 er spørgsmålet altså, om man kan finde et x, så 7 “går op i” (altså om er et Gaussisk helt tal gange 7). Hvis 7 går op i d, kan man vælge x=0, så det er et særligt simpelt tilfælde (det er de grå felter). De andre er på formen  hvor $z$ er et Gaussisk heltal.

 

 

 

 

 

 

 

 

Her er eksempler på mønster med forskelligt valg af tallet c. Man kan se, at de bliver meget forskellige og at der kan opstå spiraler, når c=n+mi og hverken n eller m er 0. Der er meget rigtig fin matematik i at se på disse kvadratiske rester, men det må I selv pusle med – ligesom de studerende på først semester gjorde det.