Cantormængder – på den fede måde

I sidste uge skrev jeg (og især Horia) om Cantormængden. Der var et argument for, at Cantormængden har “længde” 0, fordi det, der fjernes, ialt har længde 1. Yderligere så vi, at Cantormængden er kompakt, ikke-tællelig og ikke har indre punkter. I konstruktionen af Cantormængden fjernes den midterste tredjedel af hvert tilbageværende interval, Man kunne spørge, hvad der ville ske ved “kun” at fjerne den midterste fjerdedel af hvert af de tilbageværende intervaller. Bliver der så ikke mere tilbage i den sidste ende? Svaret er, at det gør der ikke. Den samlede længde af det, der fjernes, er stadig 1. Men man kan fjerne mindre og mindre på en anden måde:

Den fede Cantormængde eller Smith-Volterra-Cantor-mængden er også ikke-tællelig, kompakt, har ingen indre punkter (den er sin egen rand), men den har længde 1/2. Den konstrueres næsten ligesom Cantormængden, men man fjerner mindre delmængder undervejs:

$800px-Smith-Volterra-Cantor_set.svg$ Start med det lukkede interval [0,1] og fjern den midterste (åbne) fjerdedel. Så har vi [0,3/8] U [5/8,1] tilbage. Nu fjerne vi den midterste sekstendedel fra hvert af de to intervaller og har så

$[0,\frac{5}{32}]\cup[\frac{7}{32},\frac{3}{8}]\cup [\frac{5}{8},\frac{25}{32}]\cup[\frac{27}{32},1]$

I hvert skridt fjernes et $\frac{1}{2^{2n}}$ langt stykke midt i hvert af de $2^{n-1}$ intervaller, der er tilbage. Ialt fjerner man $\frac{2^{n-1}}{2^{2n}}=\frac{1}{2^{n+1}}$ for n=1,2,3,… ialt

$\Sigma_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}}=\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+2}}=\frac{1}{4}\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{4}\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$

Så det tilbageværende har længde $\frac{1}{2}$ Det er den fede (eller en af de fede) Cantormængder. Når man tænker på, at der ikke er nogen indre punkter i mængde, er det altså virkelig underligt og en lille smule rystende: Der er en total længde på $\frac{1}{2}$ , men der er ikke nogen bittesmå “rigtige” intervaller i mængden.

Argumentet for, at der ikke er nogen indre punkter er som følger. Start med et punkt p i [0,1]. Uanset hvor lillebitte et $\varepsilon$ , du vælger, så er der i intervallet $]p-\varepsilon,p+\varepsilon[$ punkter, der bliver fjernet i processen. Så hvis p ligger i den fede (eller for den sags skyld den tynde) Cantormængde, så er der ikke mulighed for at tage $]p-\varepsilon,p+\varepsilon[$ med nok så lille epsilon, uden at få noget fra komplementet til Cantormængden (fed eller tynd) med.

Har man først fået ideen, kan man konstruere fede Cantormængder med andre længder. Det kan I eksempelvis læse om hos Evelyn Lamb på Scientific American. Der kan I også se, at Cantormængden (fed eller tynd) ikke er tæt uanset hvor lille et delinterval af [0,1], man vælger, så vil der i dette lillebitte interval være et delinterval, som er blevet fjernet. Ethvert punkt y i det indre af dette delinterval, kan adskilles fra Cantormængden med $y-\mu,y+\mu[$ som ikke indeholder noget fra Cantormængden (for lille nok $\mu$ . Cantormængder er intetsteds tætte. Men fylder alligevel, hvis de er fede…