Hvor ved vi fra, at logaritmefunktionen går mod uendelig?

I indlægget Mod det Uendelige Univers bruger jeg, at logaritmefunktionen går mod uendelig, altså:

For ethvert, uanset hvor stort, tal K, findes et M så $\ln(x)\geq K$ når blot $x\geq M$ . Det er nemlig det, vi mener med, at funktionen går mod uendelig for x gående mod uendelig.

Jeg kunne have skrevet dette til i den blogpost, men det er lidt noget rod, hvis nogen allerede har læst det. Så derfor får I lige en lille ekstra blogpost her.

Hvor ved vi fra, at vi altid kan finde sådan et M. Uanset hvilket K, nogen kommer med? Jo, vi har en opskrift til at lave det M (udfra et K, vi har fået). Bemærk, at logaritmefunktionen er voksende, så hvis $\ln(M)\geq K$ og $x\geq M$ , så er $\ln(x)\geq\ln(M)\geq K$

Opskriften på at finde M er lavet ved følgende argument:

$\ln(x)\geq K$ ville gælde, hvis $x\geq e^K (=\exp(K))$ , så vi kan altså vælge $M=e^K$ .

Et andet argument (som min kollega Horia lige har sendt til mig – der var en fejl i ovenstående) er:

Logaritmefunktionen er voksende.

2). Eulers tal $e$ er mindre end 3

3). $\ln(4)>\ln(3)>\ln(e)=1$

4). Lad $K>0$ . For alle $x>4^K$ har vi $\ln(x)>\ln(4^K)=K\ln(4)>K$ .

Det illustrerer også, hvor langsomt logaritmefunktionen vokser – hvis altså man har gjort sig klart, hvor hurtigt eksponentialfunktioner vokser… Og man kan måske også bedre se, hvorfor algoritmer med logaritmisk tidskompleksitet eller bare $n\ln(n)$ er gode.