Fra den tidlige skoletid kender vi alle fortsættelsen af nogle simple talmønstre, som f.eks. tre-tabellen:
3, 6, 9, 12, 15, …
Sådanne talmønstre optræder også ofte i IQ-tests. Hvad er det næste tal f.eks. nedenfor?
1, 1, 2, 3, 5, …
Nu vil de fleste vel tænke at en matematiker der får sådan et IQ-spørgsmål må have meget lettere ved at svare end en ikke-matematiker, men det forholder sig på nogle måder omvendt. Godt nok har matematikeren ofte et vist flair for tal og en sund logisk tankegang, men til gengæld risikerer matematikeren at tænke over at der er flere løsninger på problemet. Det oplaget svar ovenfor er selvfølgelig Fibonacchi-tallene hvor det næste tal er summen af de to forgående, dvs. 8, 13, 21, …
Det mindre oplagte svar er at det drejer sig om “opdelingstal” (partition numbers), som angiver på hvor mange måder man kan opdele et heltal i andre heltal. F.eks. kan 2 kun opdeles på to måder (lad os sige det er kagestykker):
- 2 til mig og 0 til alle andre. (2)
- 1 til mig, 1 til dig og 0 til alle andre. (1+1)
Fra det matematiske synspunkt ser vi ikke forskel på dig og mig så “2 til dig og 0 til alle andre” er den samme opdeling som punkt 1 ovenfor (hvilket er den version jeg foretrækker).
Tallet 3 kan opdeles på tre måder:
- 3 til mig og 0 til alle andre. (3)
- 2 til mig, 1 til dig og 0 til alle andre. (2+1)
- 1 til mig, 1 til dig, 1 til en anden og 0 til alle andre. (1+1+1)
(Her er “2 til dig, 1 til mig og 0 til alle andre” igen matematisk set det samme som punkt 2, så den tæller ikke som en ekstra mulighed.)
Tallet 4 kan opdeles på fem måder:
- 4
- 3+1
- 2+2
- 2+1+1
- 1+1+1+1
Tallet 5 kan opdeles på 7 måder, 6 kan opdeles på 11 måder og 7 kan opdeles på 15 måder. Derfor kunne fortsættelsen af vores talmønster lige så godt være 7, 11, 15, …
Er det mon så sådan at matematikere går rundt og husker en masse lange talmønstre så de kan genkende dem hvis de dukker op i en eller anden sammenhæng? Nej, det er ikke nødvendigt da en fyr ved navn Neil Sloane har gjort det meget let at slå talmønstre op i On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS). Her kan man taste de første tal ind og finde mange mulige fortsættelser. Det gør det muligt at finde interessante sammenhænge mellem forskellige talfølger og der er masser af referencer til kilder, beviser osv. Siden er blevet standardreference for talfølger, og hvis man f.eks. kigger på Wikipedia-siden om Fibonacchi-tallene kan man se står der i forlængelse af tallene “A000045“, hvilket er Fibonacchi-tallenes unikke ID på OEIS. Antallet af opdelinger af heltallene er talfølgen “A000041“.
Denne Youtube-video giver en kort introduktion til OEIS: