Billede fra Norbert Stoop.

Når man suger luft ud af en silikonebold, får den sommetider smilehuller – så den ligner en golfkugle – og sommetider mere indviklede striber/furer a la de mønstre på fingerspidserne, der sætter fingeraftryk. Hvordan et tyndt ydre lag rynker, er ikke (kun) et kosmetikspørgsmål: Hjernen har furer – hvordan opstår de, og hvordan udvikler andre dele af kroppen sig i fostertilstanden (det kaldes morfogenese). Aerodynamikken af en golfbold er bedre end for en bold med glat overflade, så man vil gerne lave materialer, der ændrer sig for at ændre deres aerodynamik. Alt det gør, at man gerne vil forstå processen med, hvornår der dannes rynker – labyrintmønstre – og hvornår der dannes smilehuller (appelsinhud…) i et tyndt stift lag materiale udenpå et tykkere blødt lag.
Det problem har en gruppe forskere på MIT (Massachusets Institute of Technology) nu løst. To ingeniører, Pedro M. Reis og Denis Terwagne, og tre matematikere, Jörn Dunkel, Norbert Stoop og Romain Lagrange.

Reprinted by permission from Macmillan Publishers Ltd: Nature Materials 14, 337–342 (2015) Curvature-induced symmetry breaking determines elastic surface patterns,

Ingeniørerne havde i forvejen dels eksperimenter og dels nogle computersimulationer, som kunne genskabe fænomenerne nogenlunde, men kun et ad gangen, og der var ikke en samlet teori for, hvad der giver rynker og hvad der giver smilehuller.

Det viser sig at være forbavsende simpelt. Det afhænger af 1) Tykkelsen af det ydre lag i forhold til krumningen (som for en kugle kun afhænger af radius) På figuren ovenfor er tykkelsen h og radius R.  2) Hvor meget det ydre lag strækkes – hvor meget luft suges ud af bolden.

Reprinted by permission from Macmillan Publishers Ltd: Nature Materials 14, 337–342 (2015) Curvature-induced symmetry breaking determines elastic surface patterns,

Her dannes der “golfkugleagtige” mønstre, når der suges luft ud af en siliconebold. Når der i stedet dannes “fingeraftryk”, er det et eksempel på brud på symmetri. Man går fra noget meget regulært til noget, som ikke er det. Fra leopardens pletter til tigerens striber, er et andet eksempel på brydning af symmetri. Det (stribede og plettede tigre, leoparder og katte,) har Alan Turing (Jo, ham fra filmen, ham med Enigma) givet en matematisk model for.

Det overraskende i artiklen her er, at hele fænomenet kan forklares med kun to parametre. I ligningerne for elasticitet, som naturligt indgår her, er der mange andre ting, der kunne have indflydelse. Forfatterne skriver om en “generaliseret fjerde ordens Swift-Hohenberg ligning” (for afficionados er det en partiel differential ligning, som bl.a. indeholder Laplace-Beltrami operatoren…)

Reprinted by permission from Macmillan Publishers Ltd: Nature Materials 14, 337–342 (2015) Curvature-induced symmetry breaking determines elastic surface patterns,

Figuren ovenfor er at diagram over, hvor der skiftes mellem smilehuller (hexagonalt mønster) og rynker (labyrinths). I det gullige område er der smilehuller, i det blå er der rynker, imellem de to kurver er der en overgang med begge dele. Man kan se rigtig meget af sådan et fasediagram: Når R/h bliver meget stor, så er der kun labyrint/rynkemønster. Når der er et stort “sress”, altså man lukker rigtig meget luft ud, så skal der være en lille R/h for at få golfboldmønster. De kurver, der skiller områderne, kommer ved at løse en ligning – de er forudsagt teoretisk. De blå, gule og røde trekanter, romber og cirkler, stammer fra eksperimenter.

Billede fra Norbert Stoop.

Hvis nu man suger luft ud af en badering, som har et tyndt stift lag udenpå et tykkere blødere lag, så giver udregningerne stadig et resultat.

En badering/torus  har mere indviklet krumning end en kugle. Omkring punkter på “ydersiden” buler den udad som en kugle, men på indersiden er den mere som en sadel – man kan forestille sig, at man sætter sig i en meget stor badering, så man har noget af den over hovedet. Så sidder man næsten som på en (svajrygget) hest. Resultaterne i artiklen giver, at de mønstre, der dannes, afhænger af både Gausskrumningen og middelkrumningen. For en kugle er begge dele konstant og givet af radius, så det har vi med i beskrivelsen ovenfor.

Læs mere i Mathematical Moments eller (igen) i Quanta Magazine