abc-formodningen. Nej, det er ikke noget med alfabetet.

En formodning er et matematisk udsagn, som en eller anden, typisk en indflydelsesrig matematiker, mener, må være rigtigt. Uden at have et bevis. Det kendteste eksempel er nok Fermats formodning om, at ligninger $x^n+y^n=z^n$ ikke har løsninger hvor både x, y og z er hele tal og $n\geq 3$ . (Den er bevist, men det tog 300 år). Andre store formodninger er Riemannhypotesen (ikke bevist) og Poincare-formodningen (er bevist). De spiller rollen som pejlemærker for matematikere og som sten i skoen – det er rigtig irriterende ikke at kunne bevise noget, man er ret sikker på, er rigtigt. Og så giver de ofte anledning til løsning af andre resultater i forbifarten – for at få skovlen under et svært resultat, må man ofte opdage(opfinde) nye matematiske metoder, som kan vise sig at være vigtige for noget, man slet ikke havde regnet med. Wikipedia har en lang liste med formodninger. Bemærk, at der også er en liste over formodninger, som nu er bevist og en liste over formodninger, som nu er modbevist. Så selvom man tror, noget er rigtigt, og selvom store matematikere har troet det, så kan det godt være forkert.

abc-formodningen drejer sig om de hele tal. Den er fra 1985. Den har konsekvenser for løsning af heltalsligninger (findes der hele tal, der løser …) og vores forståelse af de hele tal og er derfor væsentlig. Matematikeren Shinichi Mochizuki påstår at have bevist formodningen, men hans bevis er enormt svært at læse. I december 2015 holdes en workshop i Oxford, hvor man bl.a. vil forsøge at forstå den nye matematik, det indgår i beviset, “inter-universal Teichmuller theory” – det er et nyt matematisk værktøj, så det giver formentlig helt nye muligheder. Nature har en artikel om abc-formodningen og især om menneskene bag. Jeg er en stor Monty Python fan og er derfor ret vild med denne formulering: “Everybody who I’m aware of who’s come close to this stuff is quite reasonable, but afterwards they become incapable of communicating it,” says one mathematician who did not want his name to be mentioned. The situation, he says, reminds him of the Monty Pythonskit about a writer who jots down the world’s funniest joke. Anyone who reads it dies from laughing and can never relate it to anyone else.

$stanim$ Billedet til venstre forestiller efter sigende universal Teichmüller theory. Jeg vil forklare, hvad formodningen siger, men ikke beviset – vi skulle jo nødig dø af grin.

Her er abc-formodningen: For ethvert ϵ>0 er der kun endeligt mange tripler a+b=c, hvor a,b,c er parvis primiske hele positive tal og $rad(abc)^{1+\varepsilon}<c$

Hvad betyder det så? Husk, at alle hele tal kan skrives som et produkt af primtal. For eksempel er $100=2\cdot 2\cdot 5\cdot 5= 2^25^2$ . Primtallene kan “genbruges”. abc-formodningen drejer sig om de forskellige primtal, der bruges, og ikke hvor mange gange, de genbruges. Man tager så produktet af disse. Det kaldes radikalet. Eksempelvis er

rad(100)= $2\cdot 5=10$
rad(25)=5, (da 25 =5×5)
rad (64)=2, (da 64=2^4)
rad(10)=10=rad(100)=rad(200), da primfaktorerne i alle tilfældene er 2 og 5

abc-formodningen sammenligner rad(abc) med c. Lad os se nogle eksempler:

3+17=20=4×5. rad(abc)=3x17x2x5=510 >20, så rad(abc)>c
100+33=133, rad(abc)=2x5x3x11x 7x 19= 17689 som er større end 133.
3+125=128 og 125=5^3, 128= 2^7, så rad(3x125x128)=3x2x5=30, så rad(abc)<c
a = 2,b = 3¹⁰·109 = 6.436.341,c = 23⁵ = 6.436.343, rad(abc) = 15042 <c.

abc-formodningen siger, at rad(abc) typisk er større end c. Det ville man nok også regne med – de to sidste eksempler ovenfor et konstrueret så b og c er et primtal i en høj potens, så altså a+ p^m=q^n og det er ikke typisk. Men hvad mener man med det. Faktisk er der uendelig mange tripler med rad(abc)<c, men altså kun endeligt mange med $rad(abc)^{1+\varepsilon}<c$ for et fast $\varepsilon$ uanset hvor lille dette $\varepsilon$ er, men det må selvfølgelig ikke være 0. Så for eksempel er der endelig mange med $rad(abc)^2<c$ .

Skriver man lidt om – tager logaritmen på begge sider, så står der, at der kun er endelig mange tripler med

$1+\varepsilon <\frac{\log(c)}{\log(rad(abc))}$

Højresiden er “kvaliteten” q(a,b,c). der er altså uendelig mange tripler med q(a,b,c)>1, men kun endelig mange med q(a,b,c)>1,00001 eller 1,000000001.

Hvis formodningen er bevist, så kan den bruges til at bevise en lang stribe resultater om de hele tal. For eksempel er Fermats sætning en konsekvens. Den har Andrew Wiles allerede bevist, men at få et nyt bevis for noget svært, er altid oplysende. Så er der en forbindelse, man ikke havde kendt til. Det ved vi sikkert mere om, når konferencen i Oxford er forbi.