Af og til stilles der opgaver af typen “Hvad er næste tal i rækken 1, 2, 3, …?”. Her forventer spørgeren nok at få svaret 4, for spørgeren har sikkert genereret tallene ved hjælp af funktionen f(x) = x for x = 1, 2, 3, …. Lad os i stedet påstå, at svaret er 42 og argumentere hvorfor.

En måde at argumentere på, er simpelthen at give den funktion, vi påstår har genereret talrækken. Så lad os gøre det:

Lad os tjekke, at . Waw! Og så videre for 2 og 3. Prøv fx ved hjælp af Wolfram Alpha for x = 2. Og for x = 4 fås, at f(4) = 42. Endnu mere wauw.

Så svaret på opgaven, kan vi påstå er 42 lige så vel som at det burde være 4. Vi har jo på samme måde anvist et polynomium, der kan generere talrækken og næste tal er 42.

Hvordan er det polynomium så konstrueret? Det er sket ved hjælp af noget, der kaldes polynomiumsinterpolation. Det er beskrevet på blandt andet https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation og der findes flere hjemmesider, der kan gøre det online, fx http://www.wolframalpha.com/input/?i=interpolating+polynomial+calculator. Polynomiet ovenfor blev fundet med dette input (klik her).

I stedet for at have påstået, at næste tal var 42, kunne vi have påstået, at det var -100. Eller 719.232. Eller at de to næste er 1 og 1. Vi ville altid være i stand til at konstruere et polynomium, der ville give præcis hvad vi ønskede.

Hvorfor kan det så lade sig gøre? Fordi der altid kan konstrueres et polynomium, hvis graf går gennem n punkter [ovenfor er det {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 42)}]. Faktisk kan det vises, at der gennem n punkter findes ét (og kun ét) polynomium af grad n-1, hvis graf går igennem præcis disse punkter. Læs mere på denne Wikipedia side: https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation

Hvad gør du, næste gang du får en opgave med at gætte næste tal i talrækken?