Rygterne går blandt matematikere og dataloger. Det ser ud til, at Laszlo Babai på tirsdag vil holde et foredrag om et stort resultat: Her er annonceringen Title: Laszlo Babai (University of Chicago): Graph Isomorphism in Quasipolynomial Time (Combinatorics and TCS seminar)
When: Tue Nov 10, 2015 3pm to 4pm  CST
Where: Ry 251
Description: We outline an algorithm that solves the Graph Isomorphism (GI) problem and the related problems of String Isomorphism (SI) and Coset Intersection (CI) in quasipolynomial (exp(polylog n)) time. 

Babai holder tre foredrag (i aftes, da jeg begyndte at skrive dette indlæg, var der kun annonceret et foredrag, men de har nok insisteret på at få en længere historie).

Hvad går det ud på? Vi skal have to ting på plads, nemlig grafisomorfier og quasipolynomiel tid.

Graf-isomorfi-problemet:

Her er en graf. Den består af nogle knuder (de runde bobler) og nogle kanter (linjestykkerne imellem).

To grafer er ens, isomorfe, hvis man kan matche knuderne i den ene med knuderne i den anden og samtidig få kanterne til at passe sammen. OBS: Det er ikke det samme som dette problem,.

Her er to grafer, som faktisk er isomorfe. Det kan man måske ikke lige se, men på grafen nedenunder er skrevet en matching af knuderne ind (ved hver knude står navnet på en knude fra hver af de to grafer) og kanterne passer.

Når man har et forslag til en isomorfi kan man checke, om det faktisk er en isomorfi, og det er let nok. Men at finde en, eller bare vide, om der findes en, er straks værre.

Grafisomorfiproblemet går ud på at lave en algoritme, som kan undersøge, om der findes sådan en matching af to grafer. Men udover det, og det er det interessante: At bestemme, hvor god en algoritme, det er muligt at lave. Altså, hvor mange skridt en algoritme, der løser dette problem, mindst skal bruge som funktion af størrelsen af input.

Tidsompleksiteten for en grafisomorfialgoritme er et udtryk for, hvordan antallet af skridt, som algoritmen i værste fald skal bruge, afhænger af grafens størrelse. Man kan let lave sin egen algoritme, som starter fra en ende af – vælg en knude i graf 1 og match den til en knude i graf 2. Vælg så en ny knude i graf 1 og match til en, som ikke er matchet endnu i graf 2. Og så fremdeles. Hvis graferne begge to har n knuder, er der n knuder i graf 2 at vælge imellem, når den første skal matches, n-1, når den næste skal matches etc. Så der er nx(n-1)x(n-2)x….2×1 =n! mulige match af knuderne i den en med knuder i den anden. Så skal man for hvert match af knuder checke, om kanterne passer. Er der en, der passer, er svaret “ja, der findes en isomorfi.” Ellers er svaret “Nej”. Det er ikke effektivt. Når man går fra at have 100 knuder til 1000 knuder, er antallet af mulige match for 100 knuder 100!, som er cirka 10^157 (157 nuller efter 1-tallet). Har man 1000, er der 1000! cirka 10^2567, altså 2567 nuller efter 1-tallet. Dette er en algoritme med en helt urimelig  tidskompleksitet. Blot ved at få en graf, der har 10 gange så mange knuder, skal algoritmen bruge 10^2410 gange så lang tid. Men det er også en meget ubegavet algoritme.

Har man små datamængder, kan man nøjes med sådanne dumme algoritmer, der prøver alle muligheder  (de kaldes også brute force algoritmer) og leve højt på, at computere er hurtige. Men vi har store, meget store, datamængder. så vi skal være dygtigere.

Kompleksiteten af en algoritme er det antal operationer, der skal til, som funktion af størrelsen af input. En graf består af en mængde knuder og kanter, så her er størrelsen af input den samlede størrelse af disse to mængder. Mere præcist er det “størrelsesordenen” af antallet af operationer. Hvis antal operationer er er kompleksiteten O() og man er ikke interesseret i konstanten 32 eller leddene med lavere grad.

Man inddeler beslutningsproblemer, altså ja/nej problemer, som eksempelvis, om der findes en matching af to grafer, efter kompleksitetsklasser – polynomiel, logaritmisk, eksponentiel etc.. Altså efter, hvad tidskompleksiteten er af den bedste algoritme. At finde en optimal algoritme er selvsagt mindst lige så vanskeligt som at afgøre, hvad kompleksiteten af en sådan algoritme ville være, hvis man kunne finde den.

Graferne på billedet illustrerer, hvordan klasser af funktioner vokser i forhold til hinanden. Læg mærke til, at n! er den, der vokser hurtigst. Den orange er , altså eksponentiel ( Grafisomorfiproblemet beskriver sin egen kompleksitetsklasse GI, som er alle problemer, man ved har samme kompleksitet som grafisomorfiproblemet – fordi man kan formulere det at løse det ene beslutningsproblem som et spørgsmål indenfor løsning af det andet problem og omvendt. Grafisomorfialgoritmerne har man hidtil haft i en klasse for sig, hvor man ikke har vidst, hvor de hører til. Det åbne spørgsmål er, om der findes en algoritme med polynomiel tidskompleksitet, der altid korrekt kan fortælle, om to grafer er isomorfe.  Altså en algoritme, hvis tidskompleksitet er et polynomium. Og det må gerne være et 2000-grads polynomium. Men man har ikke været i nærheden af at have en sådan algoritme. Man vidste, man kunne lave en, der er højst , hvor n er antal knuder. Den kompleksitet kaldes subeksponentiel – ikke polynomiel, men heller ikke så voldsom, at den er eksponentiel. Den algoritme er fra 1983, så det er derfor, der er røre i andedammen, når der kommer nyt.

Laszlo Babai har, hvis altså beviset holder, lavet en algoritme med tidskompleksitet hvor c er en konstant. Det er “quasipolynomielt” og klart mindre end det tidligere opnåede. Konstruktionen af algoritmen har involveret resultater fra det matematiske område gruppeteori.

På Numb3rsbloggen har Hans Hüttel skrevet om P versus NP. Kompleksitet af algoritmer har både teoretiske og praktiske sider. Eksempelvis har jeg lige hørt i kaffestuen, at digitalt tv ikke ville fungere, hvis vi brugte den dumme signalbehandlingsalgoritme, som er . Heldigvis bruger vi Fast Fourier Transform, som er , og så er der Vild med Dans på skærmen.

Nu er det spændende, om Babai er på vej mod en polynomiel algoritme. Grafisomorfi har også praktiske anvendelser – og der er såmænd gode algoritmer til at bestemme om visse typer af grafer er isomorfe. Helt generelt gælder det, at man med mere viden om det data, der skal behandles, kan lave hurtigere algoritmer.

Jeg har bedt min gode kollega Hans Hüttel om hjælp til at undgå alt for meget vrøvl i ovenstående – jeg er nemlig overhovedet slet ikke ekspert i kompleksitet, og han har reddet mange af mine misforståelser – der er muligvis nogen tilbage. Det er ikke Hans’ skyld. Hans skriver yderligere:  Noget andet, der er rigtig interessant, er om grafisomorfi-problemet mon også er i coNP, dvs. om problemet om to grafer _ikke_ er isomorfe mon er i NP. Ingen ved nemlig om NP er lukket under komplement (selv om der hvert år er studerende på 5. semester på datalogi, der mener at vide at det er tilfældet). Hvis vi finder en polynomiel afgører for grafisomorfi har vi samtidig fået aflivet en kandidat til at vise at NP ikke er lukket under komplement.

George Boole blev født 2.november 1815. Han var matematiker, filosof og er idag nok især kendt som logiker. 200-året for hans fødselsdag fejres hele året . Der er Boole2school undervisningsmateriale, konferencer og meget andet. I 1849 skrev Boole  “An Investigation of the Laws of Thought, on which are founded the mathematical theorries of logic and probabilities.” Der står meget, men det væsentlige er det, der idag kalde Boolesk algebra – reglerne for at “regne” med matematiske udsagns sandhedsværdier. Et matematiske udsagn kan være sandt eller falsk. Her er noget konkret at tænke på:

Udsagn P: Kurt er mindst lige så høj som Frede.

Udsagn Q: Nilen er længere end Gudenåen.

Vi ved, at Q er sandt. Hvis vi nu ikke ved, om P er sandt, så kan vi heller ikke vide, om udsagnet “P er sandt OG Q er sandt” er sandt. Det er det, hvis P er sandt. Og ellers er det falsk. Men udsagnet “P er sandt ELLER Q er sandt”, er sandt, uanset hvad P er, eftersom Q jo er sandt. Den slags ræsonnementer satte Boole i system, så vi nu kan få en computer til at lave følgeslutninger som ovenfor og så vi kan lave mere avancerede ræsonnementer uden at få hovedpine – Er udsagnet “(P er ikke sand OG Q er sand) ELLER P er sand” sandt? Man skal også kunne “negere” et udsagn. Udsagnet nonP er sandt hvis og kun hvis P er falsk, og det er falsk hvis og kun hvis P er sandt.

Sandt og falsk noteres ofte  som hhv. 1 og 0. OG som multiplikation, ELLER som +.

Lad os nu gå ud fra, P er falsk, så P har sandheds værdi 0 og Q har værdi 1. Sandhedsværdien af P OG Q er så 0 gange 1 =0.

Sandhedsværdien af P ELLER Q er 0+1=1

Det giver følgende tabel over regning med sandhedsværdier: Lad mig skrive “x” for multiplikation – husk, det svarer til sandheds værdien af udsagnet P OG Q, når vi kender sandhedsværdien af P hhv Q:  0x0=0, 0x1=0, 1×0=0, 1×1=1 Det ser jo fint ud. Nu til +, som svarer til P ELLER Q: 0+0=0. 0+1=1. 1+0=1, 1+1=1 Hovsa! Jo, hvis både P og Q er sande, så er udsagnet P ELLER Q naturligvis sandt. Altså 1+1=1.

Nu kommer det smarte. Man kan sammensætte regningerne, så udsagnet (P OG Q) ELLER (R OG S) har sandhedsværdi (PxQ)+(RxS), hvor jeg har ladet P,Q,R,S  stå for sandhedsværdien af hhv. P,Q,R,S.

Har man OG, ELLER og NON, kan man lave “medfører”: P MEDFØRER Q betyder, at hvis P er sand, så er Q sand. Det er sandt, hvis P er falsk (uanset hvad Q er) og hvis Q er sand (uanset hvad P er) – det kan man tænke over eller lade være en definition…. P medfører Q har har samme sandhedsværdi som (non P) ELLER Q, så vi kan altså bygge det fra, hvad vi allerede har. Her er en sandhedstabel for nogle udtryk. JEg har skrevet S og F i stedet for 1 og 0 – jeg tror, det er lettere at overskue for læsere, der ikke er vant til notationen med 0 og 1.

Her kan man lave sine egne sandhedstabeller.

Claude Shannon indså, at Boolesk algebra kunne bruges til at regne på Elektroniske kredsløb: Elektronikversionen af ELLER – en parallelforbindelse. Hvis der kommer 0 ind af den ene og 1 af den anden, så kommer der 1 ud – lampen lyser, hvis der er forbindelse den ene vej.

Her er en OG gate – en serieforbindelse. Begge skal være sande, før lampen lyser.

Et andet eksempel på Boolesk algebra er regning med mængder. I stedet for udsagn har vi delmængder af en mængde M. Vi tænker på sandheds værdien af “x tilhører B”, hvor B er en delmængde af M og x er et element i M. Det er ikke så svært at se, at OG bliver fællesmængde, ELLER foreningsmængde og NON komplementærmængde.

Hvis man vil læse en af de tre matematikuddannelser på AAU kan man se af FAQ-listen, at man ikke behøver at være et matematisk geni for at gennemføre uddannelserne. Det er helt rigtigt! Men man skal være god til matematik, det siger sig selv, og villig til at arbejde med faget. Og ja, det er ind imellem hårdt arbejde. Og det er sværere og anderledes end i gymnasiet. Vil man have udfordringer, kan man altid finde et matematisk spørgsmål, som ingen har svaret på. Der er udfordringer selv til de dygtigste. Det kan blive lige så svært det skal være. Omvendt så skal man ikke tro, at man kan klare sig med at sætte sig i et hjørne og vente på en ide. Selv de allerdygtigste skal arbejde med faget for at få nok indsigt til at kunne få ideer.

Matematikere, der er særligt dygtige, løber en meget stor risiko for at få påhæftet betegnelsen “matematisk geni” i pressen. Straks melder der sig i hovedet på læseren et billede af en sær snegl med uglet hår og svært ved at tale med andre om andet end matematik. Det er altså en snedig blanding af en kompliment og en fornærmelse. Endnu værre er det, når det rammer unge mennesker, som måske har fået en høj karakter i matematik til studentereksamen. En af de matematikere, som ofte bliver udsat for dette, er Terry Tao, som er professor ved UCLA (Los Angeles), gift, far til et par børn og således ikke et særlig godt match til myten om geniet.

Tao skriver selv om det skadelige i, at matematikere udråbes til genier i et indlæg på sin i øvrigt meget læseværdige blog. En pointe er, at myten om geniet gør matematik til noget uopnåeligt.

In order to make good and useful contributions to mathematics, one does need to work hard, learn one’s field well, learn other fields and tools, ask questions, talk to other mathematicians, and think about the “big picture”. And yes, a reasonable amount of intelligence, patience, and maturityis also required. But one does not need some sort of magic “genius gene” that spontaneously generates ex nihilo deep insights, unexpected solutions to problems, or other supernatural abilities.

Tao skriver om, hvordan denne myte kan få nogen til at kaste sig over alt for store og vanskelige problemer og gå helt i stå. Mens det kan få andre til at give helt op. Hvis man tror, matematik kræver noget medfødt “genetisk”, giver man op i stedet for at arbejde hårdere.

Matematik er et kæmpestort område. der er imponerende indsigter og resultater, men det bygger på århundreders arbejde og mindre skridt, som tilsammen giver det, der kan ligne en indsigt, der er faldet ned fra himlen i fuldt færdig form. Sådan ser det tit ud i matematikbøger. Det er det ikke.

At Terence Tao har et enormt talent for matematik, er ingen i tvivl om. Men han vil ikke kaldes et geni. Og så er der nok ingen, der er det. Han har i øvrigt også  “karriereråd”.

FN har erklæret idag 20/10-2015 for Verdens Statistikdag. Overskriften er Bedre data, bedre liv. Danmark er ikke på listen over deltagerlande, men derfor kan vi jo godt kippe med flaget her på bloggen.

Når FN fejrer statistik en gang om året, skyldes det, at der træffes bedre beslutninger, når man forstår problemerne. Og det gør man i høj grad via data. Især har man brug for ikke bare en rodebunke med data, men en analyse af data. Og det kan statistikere. Når man skal se, om Verden bliver et bedre sted – er der færre, der sulter, flere, der kommer i skole etc. har man også brug for data. Og skal man følge, om en indsats gør en forskel, er der igen brug for data og analyse af data.

I år har der været en konkurrence om visualisering af data. Det er væsentligt ikke blot at kunne analysere data, men også at præsentere det meningsfyldt og forståeligt for andre. På bloggen Understanding Uncertainty kan man selv lege med visualisering se for eksempel 2845 ways to spin the risk . Der er stor forskel på, om man får at vide, at risikoen for at få kræft er 20% højere, hvis man spiser mange baconsandwiches, eller man får at vide, at den er 5% uden baconsandwichforbrug, men 6% med. Det første er den relative stigning, det andet den absolutte. En anden fin animation er om screening. Man kan lege med dopingtest (den hedder “athletes”), sikkerhedscheck i lufthavne, HIV-test og mere. I alle tilfælde er problemstillingen: Der vil være “falske positive” – nogen, der får positiv dopingtest uden at være dopede, “falske negative” – nogen, som er dopede, men ikke fanges i testen.

En test har en specificitet og en sensitivitet. Specificiteten er andelen af “raske”, som tester raske. Sensitivitet er andelen af de syge, som testes syge. Den positivt prædiktive værdi er andelen af positivt testede, som rent faktisk er syge, sandsynligheden for at være syg, når testen viser, man er det, P(syg|testsyg). Eller, man kan se på den negativt prædiktive værdi andelen af negativt testede, der rent faktisk er raske P(rask|testrask). De prædiktive værdier afhænger af, hvor stor en andel af de testede, der er syge, altså prævalensen. Og ikke kun af sensitivitet og specificitet. Det har jeg skrevet en længere historie om på numb3rsbloggen. Det har betydning for, om man skal teste hele befolkningen eller kun dem, man har en mistanke om er syge.

Statistik er et fantastisk område med både mange og vigtige anvendelser og med spændende forskningsspørgsmål, som måske, måske ikke giver anvendelser.

Krumning optræder i mange sammenhænge: Kurver krummer, flader krummer, Universet krummer. Hvad mener man med det?  I indlæggene Smilehuller og rynker  og også Fra fladt papir til krumme flader, har krumning optrådt som en vigtig egenskab, så det er på sin plads med en uddybning:

Der er to væsensforskellige slags krumning: Indre og ydre. Den indre krumning kan man observere “indeni” ved at måle afstande og vinkler indeni. Uden at stikke hovedet op og kigge ud. Tænk for eksempel på en kugleflade, overfladen af en kugle. Den kan man kigge på udefra, og for eksempel måle radius og diameter, men indeni må man nøjes med at måle langs med kuglefladen. [Tilføjet januar 2018:  Der er tilsyneladende mulighed for at misforstå dette. Lad mig præcisere: Indeni betyder inde i den todimensionale overflade. Det er ikke som at være inde i en badebold, men at være inde i overfladen af badebolden. At være et meget fladt lille dyr, som ikke kan måle andet end langs med overfladen.] Selv med den begrænsning kan man godt observere, at der er krumning. Med Robert Ossermans æbleplantageanalogi (fra “Poetry of the Universe” dansk udgave: Universets geometriske poesi. link til bibliotekerne )

En æbleplantage i planen har æbletræer i lange lige rækker, og man kan plante dem med lige langt mellem træerne både på den ene og den anden led – man kan for eksempel sætte træer i et koordinatsystem – plante et træ hvor både x- og y-koordinaten er et helt tal.

Lad os plante æbletræer på en kugleflade, hvor vi kun kan måle afstand og vinkler indeni fladen (strengt taget kan vi så ikke plante træer, for de stikker ud. Men lad os markere, hvor træerne skal stå.)

1. Man kan måle sig til at “gå ligeud” – langs en storcirkel. Hvorfor? Fordi storcirklen mellem to punkter er kurven, der svarer til at kortest afstand. Og vi kan jo måle afstand.
2. Vælg en storcirkel. Her vælger vi Ækvator: Plant æbletræer langs Ækvator med konstant afstand k.
3. Begynd i et af æbletræerne og gå vinkelret på Ækvator. Plant æbletræer med konstant afstand k langs storcirklen i den retning.
4. Gentag punkt 3 for alle æbletræerne langs Ækvator. Nu har vi plantet æbletræer langs alle længdegraderne.

Sådan en æbleplantage er fundamentalt anderledes end en æbleplantage i planen og det ses tydeligt på figuren: Hvis vi går op mod Nordpolen og kigger til siden, bliver der kortere og kortere mellem træerne. Da vi gjorde det samme i planen, fik vi samme afstand mellem træerne på begge ledder.

Det skyldes kuglefladens krumning. Nærmere bestemt Gausskrumningen.

Plantageplantning på en cylinder har samme karakteristika som i planen, som figuren her viser. Man kan sætte træer efter et system, hvor afstandene på begge ledder holdes konstant. Forsøger man sig på en køletårnslignende flade (på figuren er den forrest), vil der blive længere og længere mellem træerne, når man går væk fra “mavebæltecirklen”.

Kuglen har positiv krumning, cylinderen (og planen) har krumning 0, køletårnet har negativ krumning. For flader med konstant krumning, kan man finde krumningen ved

1. Lav en trekant:  Vælg tre punkter og forbind dem parvis med den korteste kurve, som løber i fladen og ikke ud i rummet omkring. I planen er det linjer, på kuglen storcirkler og på køletårnet kan man forestille sig, at man sætter tegnestifter i punkterne og forbinder med elastiktråd, så elastiktråden løber langs køletårnets overflade og ikke ud i rummet omkring – det kan være svært at gøre konkret – elastikken vil meget let skyde genvej gennem rummet omkring. En tommefingerregel: Hvis den rette linje mellem de to punkter går ind i midten af køletårnet (hvis for eksempel punkterne begge to er på “mavebælteciklen”), så skal elastikken trækkes på ydersiden. Ellers skal den trække på ydersiden. (For eksempel for punkter lodret over hinanden på tårnet.) På tegningen nedenfor kan man se nogle eksempler på valg af punkter og forbindelser mellem dem på en køletårnsagtig flade.
2. Mål de tre vinkler a, b, c og arealet af trekanten, A. (Vinkler måles i radianer her.)
3. Da er a+b+c=+K*A. Og K er krumningen. Omvendt kan man få en formel for K ved at omorganisere ligningen. K=(a+b+c-)/A

Trekanter på “køletårnsagtige” flader (sadler, frisee-salat og kartoffelchips) har vinkelsum mindre end . På kuglefladen buler trekanter og får vinkelsum større end . I planen har de som bekendt vinkelsum . En torus har ikke konstant krumning – den har områder med positiv og områder med negativ krumning. Generelt varierer krumningen på en flade fra punkt til punkt. Og så skal man skærpe sin definition – det gør jeg ikke her.

Den ydre krumning er en effekt af, hvordan kurven, fladen,… er anbragt i et omliggende rum – hvor hurtigt den bøjer væk fra noget plant. I den forstand får en cylinder krumning og tynde cylindere krummer mere end tykke cylindere. Men set “indefra” kan man ikke observere denne krumning.

Når vi taler om, at universet eller rummet krummer, mener vi indre krumning. Man skal altså ikke forestille sig universet anbragt indeni noget endnu større.

Vi holder Studiepraktik 21-23 oktober. Kom og få et indtryk af vore uddannelser. Tilmelding: Senest 5. oktober – du skal scrolle ned til anden ansøgningsrunde. Matematiks program giver et indtryk af alle de tre matematikuddannelser; Matematik og Statistik, Matematik-økonomi og Matematik-Teknologi. Hele AAU (i både Aalborg,, Esbjerg og København) holder studiepraktik de dage. Hvis du vil besøge en anden uddannelse, så se her. Og bemærk i øvrigt, at baggrundsbilledet for det overordnede program er to matematikstuderende, som arbejder med matematikken bag Rubiks terning. Med mig som vejleder, men det kan man nu ikke se på billedet.

Billede fra Norbert Stoop.

Når man suger luft ud af en silikonebold, får den sommetider smilehuller – så den ligner en golfkugle – og sommetider mere indviklede striber/furer a la de mønstre på fingerspidserne, der sætter fingeraftryk. Hvordan et tyndt ydre lag rynker, er ikke (kun) et kosmetikspørgsmål: Hjernen har furer – hvordan opstår de, og hvordan udvikler andre dele af kroppen sig i fostertilstanden (det kaldes morfogenese). Aerodynamikken af en golfbold er bedre end for en bold med glat overflade, så man vil gerne lave materialer, der ændrer sig for at ændre deres aerodynamik. Alt det gør, at man gerne vil forstå processen med, hvornår der dannes rynker – labyrintmønstre – og hvornår der dannes smilehuller (appelsinhud…) i et tyndt stift lag materiale udenpå et tykkere blødt lag.
Det problem har en gruppe forskere på MIT (Massachusets Institute of Technology) nu løst. To ingeniører, Pedro M. Reis og Denis Terwagne, og tre matematikere, Jörn Dunkel, Norbert Stoop og Romain Lagrange.

Reprinted by permission from Macmillan Publishers Ltd: Nature Materials 14, 337–342 (2015) Curvature-induced symmetry breaking determines elastic surface patterns,

Ingeniørerne havde i forvejen dels eksperimenter og dels nogle computersimulationer, som kunne genskabe fænomenerne nogenlunde, men kun et ad gangen, og der var ikke en samlet teori for, hvad der giver rynker og hvad der giver smilehuller.

Det viser sig at være forbavsende simpelt. Det afhænger af 1) Tykkelsen af det ydre lag i forhold til krumningen (som for en kugle kun afhænger af radius) På figuren ovenfor er tykkelsen h og radius R.  2) Hvor meget det ydre lag strækkes – hvor meget luft suges ud af bolden.

Reprinted by permission from Macmillan Publishers Ltd: Nature Materials 14, 337–342 (2015) Curvature-induced symmetry breaking determines elastic surface patterns,

Her dannes der “golfkugleagtige” mønstre, når der suges luft ud af en siliconebold. Når der i stedet dannes “fingeraftryk”, er det et eksempel på brud på symmetri. Man går fra noget meget regulært til noget, som ikke er det. Fra leopardens pletter til tigerens striber, er et andet eksempel på brydning af symmetri. Det (stribede og plettede tigre, leoparder og katte,) har Alan Turing (Jo, ham fra filmen, ham med Enigma) givet en matematisk model for.

Det overraskende i artiklen her er, at hele fænomenet kan forklares med kun to parametre. I ligningerne for elasticitet, som naturligt indgår her, er der mange andre ting, der kunne have indflydelse. Forfatterne skriver om en “generaliseret fjerde ordens Swift-Hohenberg ligning” (for afficionados er det en partiel differential ligning, som bl.a. indeholder Laplace-Beltrami operatoren…)

Reprinted by permission from Macmillan Publishers Ltd: Nature Materials 14, 337–342 (2015) Curvature-induced symmetry breaking determines elastic surface patterns,

Figuren ovenfor er at diagram over, hvor der skiftes mellem smilehuller (hexagonalt mønster) og rynker (labyrinths). I det gullige område er der smilehuller, i det blå er der rynker, imellem de to kurver er der en overgang med begge dele. Man kan se rigtig meget af sådan et fasediagram: Når R/h bliver meget stor, så er der kun labyrint/rynkemønster. Når der er et stort “sress”, altså man lukker rigtig meget luft ud, så skal der være en lille R/h for at få golfboldmønster. De kurver, der skiller områderne, kommer ved at løse en ligning – de er forudsagt teoretisk. De blå, gule og røde trekanter, romber og cirkler, stammer fra eksperimenter.

Billede fra Norbert Stoop.

Hvis nu man suger luft ud af en badering, som har et tyndt stift lag udenpå et tykkere blødere lag, så giver udregningerne stadig et resultat.

En badering/torus  har mere indviklet krumning end en kugle. Omkring punkter på “ydersiden” buler den udad som en kugle, men på indersiden er den mere som en sadel – man kan forestille sig, at man sætter sig i en meget stor badering, så man har noget af den over hovedet. Så sidder man næsten som på en (svajrygget) hest. Resultaterne i artiklen giver, at de mønstre, der dannes, afhænger af både Gausskrumningen og middelkrumningen. For en kugle er begge dele konstant og givet af radius, så det har vi med i beskrivelsen ovenfor.

Læs mere i Mathematical Moments eller (igen) i Quanta Magazine

Når vi laver landkort, må vi forvrænge virkeligheden for at få den runde jord repræsenteret på flade kort. Forsøger man at pakke en fodbold ind, vil man opdage, at der er “for meget” papir at gør med. Man må lave folder i det eller krølle det lidt. Pakker man en sadel ind, observerer man det omvendte problem: Der mangler papir. Den matematiske forklaring er, at fodbolde, Jorden og sadler krummer, og det gør gavepapir og landkort ikke. Krumningen af fodbolden er en anden slags end krumningen af en sadel – man kan ikke pakke en fodbold ind i en sadel – det kræver endnu flere folder eller krøllen sammen – sadlen har negativ krumning, fodbolden positiv.

Man kan aldrig lave en helt rund bold af fladt papir – materialet skal kunne strækkes. Men man kan tilnærme den runde facon. Ved at lime meget små stykker fladt papir sammen eller ved origami, hvor man folder.  Man kan altså lave noget, der ligner den krumme fodbold, ved at lave skarpe folder, eller ved at lime sammen, og ellers have helt fladt papir for resten.

Jacek Halicki under Creative Commons 3

Jeg har skrevet om origami på Numb3rsbloggen, så det får I ikke mere om lige her. Det er der rigtig fin matematik i.

Fa Daniel Sussmann blog. Han er en af artiklens forfattere.

Nogle fysikere fra University of Pennsylvania ville gerne forstå, hvordan graphenagtige materialer kan komme til at krumme, og hvordan lange molekyler som for eksempel RNA kommer til at krumme. De forestiller sig, at man laver huller i et bikubemønster og derefter limer sammen. På billedet kan man, se, at de to gule områder bliver limet sammen til noget, der har positiv krumning (der er fjernet noget fra en sekskant), mens de grønne bliver til noget negativt krummet a la sadler og kartoffelchips (der er “for meget” papir rundt om punktet i midten af et grønt område, fordi to sekskanter sættes sammen – der er fjernet noget fra hver, men ikke nok til, at det bliver fladt.) De kan nu bygge noget, der ligner krumme flader fra bikubemønstre.De har brugt det på noget rigtig materiale ( de skriver “a simple combination of a Tyvek (nonwoven, Spunbonded Olefin, Type 10) base with folding cues supplied by heat-shrinkable polyolefin (SPC Technology)”). Som jeg forstår det, sætter de materiale, der krymper på passende områder på et bikubemønstret materiale – der, hvor de på figuren ovenfor klipper huller. Så varmer de det hele op, de udvalgte steder krymper helt sammen (næsten da), og man får samme effekt som ved at klippe huller og lime sammen.

Læs mere i det altid fremragende Quanta Magazine eller i den videnskabelige artikel.

PS: Jeg havde lovet noget om rynker og smilehuller. Det kommer senere. Jeg fik lige lyst til at skrive denne…

Ja, der sker bestemt noget. Vi skriver artikler, når vi har fundet på ny matematik (eller opdaget – det er en filosofisk diskussion, om vi opdager eller opfinder matematikken.) Sådan en artikel har typisk et par egentlige resultater, matematiske sætninger, en del indledning med notation, definitioner, tidligere resultater, der skal bruges og så naturligvis bevis for sætningerne. Artiklen indsendes til et tidsskrift, hvor kolleger (anonymt) vurderer, om matematikken er korrekt, om det er nyt og om det er interessant for det pågældende tidsskrifts læsere. Så bliver artiklen publiceret. Ellers må man indsende til et andet tidsskrift.

Der skrives rigtig mange artikler. I databasen “Mathematical Reviews” (http://www.ams.org/mathscinet men det koster penge at kigge, hvis man ikke er på et bibliotek eller universitet eller lignende…), hvor artikler fra en lang række tidsskrifter (der er 1800 aktive) registreres med en kort beskrivelse af indholdet, er der lige nu for 2015 registreret 49834 artikler. I 2014 kom der 89642. Ialt er der 3,187,215 publikationer registreret. Og matematik bliver ikke forældet, så man kan godt få brug for en artikel fra 1810, fra tidsskriftet Annales de Mathématiques Pures et Appliquées. som er det første, der er registreret i databasen. Og så vidt jeg ved det første matematiske tidsskrift. Det er til at blive helt svimmel af at tænke på, at der er så meget matematik!

Det ældste tidsskrift er, som den kvikke læser nok har opdaget, på fransk. Idag skrives matematik i høj grad på engelsk. Jeg publicerer selv på engelsk. Eller ville der være alt for få potentielle læsere. Matematikere er meget specialiserede og matematik er en global arbejdsplads – vi samarbejder med hele verden. Næsten da.

Jo, der er meget at skrive om her på bloggen.

I næste indlæg vil jeg skrive om matematik og ikke bare “omkring” matematikken. Mere specifikt bliver det om matematikken bag rynker. For de overordentlig meget interesserede er det om resultaterne i artiklen “Curvature-induced symmetry breaking determines elastic surface patterns,” Norbert Stoop, Romain Lagrange, Denis Terwagne, Pedro M. Reis, and Jörn Dunkel, Nature Materials 14 (2015), pp. 337–342.

Måske når andre af kollegerne at skrive indlæg ind imellem – nu får vi se.

Mvh

Lisbeth.

Fra august 2015 vil vi fra Institut for Matematiske Fag blogge om matematik, statistik og hvad der ellers falder os ind. Der bliver links til nyheder i den store verden, der bliver nyt fra vores egne forskningsområder, om undervisning og om matematik og statistik, vi gerne vil fortælle om, selvom vi ikke selv har lavet det, og selvom det måske slet ikke er nyt.

Mens du venter, kan du læse om matematik på Numb3rs-bloggen. Det er også vores. Glæd dig til august.

Mvh

Lisbeth Fajstrup, en af mange kommende bloggere her.