Her er en fortsat historie -i indlægget  Modeller for Epidemier kan I læse om SIR og SEIR-modeller og desuden underdeling af befolkningen efter alder og viden om, hvordan aldersgrupper mødes og risikerer at smitte hinanden.

Det projekt, DTU og AAU arbejder med, er en anden type model, nemlig en AgentBaseretModel, en ABM. Se mere nedenfor. De bruger også differentialligningsmodeller – så kan man se på begge modeltyper og vurdere, hvordan det samlede billede er og lave forskellige mulige scenarier. Men først lidt mere om SIR modeller og dens familiemedlemmer.

SIR, SEIR, SEIRS – tilføj selv bogstaver. Epidemiologer har naturligvis gennemskuet, at der kan være behov for andre kompartmentmodeller – andre kompartments og andre dynamikker i, hvordan man flytter mellem disse som tiden går. Disse modeller er klassiske og velkendte.

En temmelig generel version er SEIRS i den version, man kan lege med den her: http://www.public.asu.edu/~hnesse/classes/seirs.html

 

 

 

Der er bl.a. en faktor , som flytter folk fra R til S (de er kun immune i en periode) – det er derfor, den hedder SEIRS- man kan komme rundt. Der er også mulighed for at gå direkte fra S til R ved at blive vaccineret (det er faktoren , der styrer den trafik). Man kan dø af noget andet end epidemien – det er faktoren , som optræder for både S, E, I og R (bemærk, at man fastholder det konstante befolkningstal – tænk lige over det 🙂 )

I kan lege med modellen på den side, jeg linker til. Eller selv lave noget kode, der gør det. Der er en skov af Pythonkode derude til den slags. Og igen – advarsel: De modeller er alt, alt for simple, men det kan give en ide om dynamikken i sådan en epidemi.

 

AgentBaseredeModeller, ABM

I kompartmentmodellerne ovenfor, behandler man en gruppe – dem, der er i et kompartment – ens – homogent. Eksempelvis er det nok lidt tvivlsomt, om jeg har samme typer kontakter som alle andre på samme alder. Så kunne man underdele endnu mere, men det giver et nyt problem: Flytning mellem kompartments er modelleret ved en differentialligning – det giver ikke mening, hvis der er to personer i hver kompartment.

Agentbaseret modellering er en computersimulation – har man spillet TheSIMS (nej, det har jeg ikke), kender man et eksempel på, hvordan agenter kan “leve” i sådan et setup, hvor man giver dem visse egenskaber og forudsætninger for at interagere med omgivelserne.

Et simplere eksempel er flokopførsel, som jeg tidligere har skrevet om – fugle i flok reagerer på de nærmeste fugle, men tilsammen giver det en flokopførsel, som er vanskelig at forudsige inden man laver simulationen. Det er det, man har brugt til at lave gnuflokke i Løvernes Konge.

Pointen er, at komplekse fænomener kan modelleres ved simple regler for mange.

For en epidemimodel kan man placere agenterne geografisk – give dem forskellig status mht. epidemien (S, E, I, R, vaccineret eller ej, …), alder, job, … og forskellig mulig og sandsynlig opførsel – de kan “træffe beslutninger”. Kører man modellen, vil den give forskellige resultater – hvis den første smittede isolerer sig fuldstændig, så sker der ikke så meget mere. Tager den person en fyldt bus, ser det  anderledes ud.

Input til modellen er, ligesom for de “ligningsbaserede” modeller (SIR etc.) taget fra det, man ved om dels epidemien og dels befolkningen.

Der er endnu ikke noget at offentliggøre fra det danske konsortium (hemmelige agenter 🙂 ) men her er et eksempel på en ABM, der simulerer mæslingeudbrud i en by i Irland:

An Open Data-driven agent based model to simulate infectious disease An Open-data-driven agent based model to simulate infectious disease outbreaks. PLOS December 2019. Elizabeth Hunter, Brian MacNamee, John Kelleher.

Data for agenterne er bl.a. 

Geografisk data – hvor bor folk, hvilke husstande er hvor etc. er også med. Her er agenterne placeret i en by i Irland

Nu begynder de så at flytte sig – tage i skole, på arbejde, i indkøbscentre,… Når to befinder sig i samme celle(der er et grid henover det geografiske område) og den ene er smittet, bliver den anden smittet med en vis sandsynlighed – skifter status til smittet. De bliver syge, kommer på hospitalet,…

I modellen fra Irland rammer man ganske tæt på det, der skete ved et faktisk mæslingeudbrud – med en vis andel af kørslerne af modellen.

Nu er der så ikke langt til at teste forskellige scenarier – social afstand, lukkede skoler, universiteter, karantæne,…. Men basalt er det The Sims med smitsom sygdom og ikke helt så god grafik 🙂

 

Ved statsministerens pressemøde inden påske, hvor en gradvis “åbning” af Danmark blev lanceret, fortalte Kåre Mølbak fra Statens Serum Institut, at de har fremskrevet mulige scenarier ved at bruge matematiske modeller. I TV2News’ løbende undertekster stod “matematiske modeller” – altså med anførselstegn. Man kan se, at det er uvant, at der udtrykkeligt tales om matematiske modeller til et pressemøde…. selvom der er matematiske modeller bag valg af finansiering af stort set hvert eneste politiske udspil.

 

I Nature beder Julia Gog, britisk epidemiolog, om at slippe for, at for mange overfylder epidemiologernes inboxe og diverse preprintarkiver med halvbagte beregninger – hvis man virkelig vil hjælpe og har evnerne, vil det være godt at fortælle, hvad modellerne går ud på. Se det er et kampråb jeg kan forstå. Og reagere på.

Først lidt generelt om matematiske modeller: Det er modeller –  ikke virkeligheden. Når man laver en matematisk model vælger man at se bort fra noget af virkeligheden. Det gælder om

1. Modellen skal være simpel nok til, at man kan håndtere matematikken i den.
2. Resultaterne af at “regne” på matematiksiden skal være væsentlige og relevante for den virkelige problemstilling.
3. Output fra modellen skal kunne fortolkes, give mening og være nogenlunde retvisende for den virkelighed, der skal beskrives og påvirkes.

Hvor god modellen er afhænger i høj grad af, hvor godt man forstår den virkelig problemstiling, hvor meget og hvor præcist data, man har, hvor hurtigt, man kan få fat i data etc. Derfor vil output fra modeller ofte komme med flere mulige scenarier vægtet med forskellig sandsynlighed. Her er eksempelvis ekspertgruppens  prognose for indlæggelser på intensiv, hvis vi havde opretholdt restriktionerne fra før påske, men slækket på “social afstand”, som det kaldes.. Det går, som man kan se, ganske overordentlig meget galt med en ikke så lille sandsynlighed.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hvor ved ekspertgruppen så det fra – hvordan laver de beregningerne? Hvad er modellen? Det får I ikke hele historien om – jeg er ikke epidemiolog – kan knap stave til det – men jeg kan løfte lidt af sløret – jeg har læst mig til noget og vidste lidt i forvejen.

Epidemimodeller. SIR og SEIR.

En meget simpel model for epidemier er SIR-modellen. Det er en kompartmentmodel hvor befolkningen er delt i “kasser” og flytter rundt mellem disse kasser. Her står S for Susceptible (de raske, der kan smittes), I for Infected (dem, der smitter), R for recovered (dem, der ikke smitter mere eller kan smittes). Man ser på en samlet population, som så enten er smitbare (S), smittede (I) eller (R):har været smittet, nu ikke smitbare og heller ikke smitter – herunder er også dem, der er døde.

S+I+R er konstant. Det er jo den samlede befolkning. Så Recovered inkluderer dem, der er døde.

Som tiden går flytter personer  mellem S, I og R. Det er altså funktioner af tiden S(t), I(t) og R(t).

HVordan flytter de rundt? Lad mig først udvide modellen til en SEIR, hvor E er Exposed – de er smittet, men smitter ikke endnu.

Hvor mange flytter fra S til E? Tiden kan her sættes til at svare til dage. Så hvordan udvikler S,E, R sig, hvis vi kender S(t), E(t), I(t), R(t) til et tidspunkt? Det afhænger af, hvor smittefarlig sygdommen er og hvor mange møder, der er mellem smittede og raske. Det plejer vi at modellere som en sædvanlig differentialligning (“sædvanlig” er et fagudtryk – “ordinary” er den engelske pendant –  S,E,I,R er funktioner af t, tiden og ikke andet – vi har nemlig også funktioner af flere variable):

Lad mig starte nedefra:  , hvor D er det antal dage, man i gennemsnit er syg (og smitter) – det er altså den andel af de inficerede, der kommer sig og flytter til R. Den optræder (med modsat fortegn)  både i den afledte af R og den afledte af I – de flytter jo fra I til R. TIlsvarende er 1/d, hvor d er inkubationstiden – den tid, man er smittet, men ikke smitter.

er et mål for smitsomheden – den ganges med IS/N, hvor N er befolkningens størrelse – rationalet er, at man smitter, når man mødes.

Man kan allerede med denne model se, at det kan hjælpe på epidemiens udvikling at sætte syge i karantæne. Så bliver I(t) mindre  og der smittes ikke så mange.

Det er imidlertid en meget, meget simpel model. Hvis man skal lave de grafer, ekspertgruppen har lavet, skal man for eksempel vide, hvilken del at befolkningen, der bliver smittet – der er stor forskel på, hvor syg man bliver og dermed, om man skal på intensiv afdeling.

Det kan man reparere på ved at lave flere kompartments: Opdeling i aldersgrupper, som så er underopdelt i S, E, I, R, altså eksempelvis raske 0-5-årige. Det giver en finere model, hvor man kan tage hensyn til, hvilke dele af befolkningen, der mødes og dermed om de smittede 50-55-årige smitter de 0-5-årige.

I England lavede man et “citizens science” projekt hvor 36.000 personer rapporterede om deres kontaktmønstre – hvem mødes de med og hvor (arbejde, hjemme, skole,…) Der var også automatisk indrapportering via GPS og telefoner. Ud af det kom eksempelvis kontaktmatricen nedenfor:

 

De hvide felter er manglende data – børn under 12 rapporterede ikke, eller der var ikke nok med.

Det giver en indikation af, at vi mødes med jævnaldrende og  børn mødes med deres forældre.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hjælper det, at vi holder os hjemme? Det afhænger af, hvor vi mødes med hinanden og det har projektet i England også undersøgt. Søjlen til venstre er fysisk kontakt, til højre al kontakt – defineret passende – måske skal man tale med folk eller passere tæt på dem.

Det giver tydeligvis input til, hvad man får ud af at holde os hjemme fra arbejde. Desuden er fysisk kontakt minimeret ved “social distancing”. Man kan omvendt også se noget om, hvad det betyder at lade børn komme i skole.

Men, men: Det er en model for et land – Storbritannien. I Danmark er vores kontakter formentlig anderledes – i Storbritannien har de eksempelvis kostskoler, universitetsstuderende bor på universiteterne. De har færre vuggestuepladser og mange andre forskelle. Men uanset hvad: Man skal bruge viden om, hvordan og hvor vi mødes. Måske giver vi flere knus? Eller færre? (Det gør vi i hvert fald nu…)

Det er altså¨ganske indviklede modeller, men overordnet set drejer det sig om compartmentmodeller.

Den simple version, hvor befolkningen ikke underdeles efter alder, kan man læse mere om på dansk her. hvor kompartmentmodellen er udvidet med et Q for karantæne. Der er også mulighed for at “lege” med modellen. Men husk hele tiden, at det, der bruges af eksperterne, er mere kompliceret og i øvrigt skifter – man lærer mere om epidemien undervejs, kender antal syge bedre,…

Lige nu er AAU og DTU igang med en såkaldt agentbaseret model, hvor man simulerer enkeltindivider. På matematik her er det Torben Tvedebrink, Mikkel Meyer Andersen og Janus Valberg-Madsen, der er med i det projekt. Det kan være, de fortæller mere om det, men vi har jo egentlig ganske travlt med at holde universiteterne i luften med online undervisning.

Datarevolutionen er i gang og den digitale tidsalder har gjort data
mere tilgængelig end nogensinde før. Statistiske modeller og
datadrevne metoder er nødvendige for at kunne opnå viden og indsigt i de
stadigt voksende datamængder.
Det stiller krav til os alle. Begrebet “Data Science
Citizen” dækker bl.a. over evnen til at forholde sig kritisk til data
og konklusioner draget på baggrund af statistiske modeller.

I projektet “AI – Aalborg Intelligence”, som er støttet af Novo
Nordisk Fonden med 6 mio. kr., ønsker vi – med afsæt i og aftryk tilbage
til matematikfaget – at styrke gymnasieelevers kompetencer inden for
kunstig intelligens og de muligheder, som teknologien rummer. Torben
Tvedebrink, Mikkel Meyer Andersen og Lisbeth Fajstrup fra Institut for
Matematiske Fag, Aalborg Universitet, skal i projektet samarbejde med
de fem aalborgensiske stx-gymnasier (Hasseris, Katedralskolen,
Aalborghus, City og Nørresundby) om at udvikle et undervisningsforløb
som kombinerer AI og matematik, således at eleverne både får indsigt i
mulighederne med AI og styrker deres matematiske kompetencer.

Eleverne får mulighed for at se, hvor centrale matematiske begreber og
værktøjer er i udviklingen af avancerede AI-metoder og -algoritmer.
Projektet kommer til at styrke forståelsen af matematiske
funktioner og matematisk modellering.
Viden om hvorfor matematiske modeller er
nødvendige for at opnå indsigt i de komplekse, stigende datamængder,
styrkes sammen med evnen til at kunne navigere i strømmen af nyheder
baseret på sådanne modeller anvendt på data.

I “AI – Aalborg Intelligence” vil vi udvikle undervisningsressourcer i
form af noter, videoer og online interaktive apps sådan at
gymnasieeleverne selv kan lege og eksperimentere med AI-metoder. Ved
at “sætte vinduer i de sorte bokse” vil vi i de udviklede apps
tydeliggøre hvordan matematikken aktivt bruges i modelleringen af
data. Det vil være med til at gøre den abstrakte matematik mere
konkret og styrke motivationen for at tilegne sig de fornødne
matematiske kundskaber.

Ved afslutningen af det 4 årige projekt vil vi have udviklet et
undervisningsforløb, der kan inddrages i de eksisterende undervisningsplaner,
og som vil kunne udbredes til alle landets gymnasier.

Vi kan slet ikke vente med at komme i gang!

Torben, Mikkel og Lisbeth.

Rigspolitiet indstiller til at øge antal STR-markører for DNA-beviser til 16

Fornylig har danske medier bragt historien om at Rigspolitiet indstiller til at antal DNA-markører for DNA-beviser øges fra 10 STR-markører til 16 STR-markører. Forholdet mellem sandsynlighederne for sammenfald mellem to DNA-profiler falder med mere end en faktor 500,000,000.

Rigspolitiet: Opdatering af DNA profiler

Uddrag fra Rigspolitiets skrivelse:

Rigspolitiet har efter drøftelse med Rigsadvokaten den 21.10 2019 besluttet at skærpe retningslinjerne for opdatering af DNA-referenceprofiler, der er typebestemt efter 10 DNA-systemer. Denne typebestemmelse blev anvendt frem til 2012. Fra 2012 er der anvendt typebestemmelse efter 16 DNA-systemer.

DNA profiler

DNA betragtes med rette som et af de stærkeste beviser i opklaring af kriminalsager. I modsætning til fx fingeraftryk, giver forståelsen af den biologiske overlevering fra generation til generation mulighed for at modellere hyppighederne af en given DNA-profil, hvilket bruges for at kunne vurdere den bevismæssige vægt af et DNA-spor (Link til Advokatsamfundets tekst om DNA-beviser)

Når man taler om DNA-profiler til personidentifikation, som vil være tilfældet hvor man ønsker at undersøge om en given mistænkt kan knyttes til et gerningssted, benyttes oftest såkaldte short tandem repeat-markører der forkortes til STR-markører. STR-markører er veldefinerede steder på en persons DNA hvor der i populationen er observeret et tilstrækkelig stor variation individerne imellem. Dette gør at sandsynligheden for overlappende DNA-profiler er lille, hvilket igen gør at sammenfald mellem en mistænkts DNA profil og profilen fra et gerningssted er inkriminerende for den mistænkte.

DNA nedarves fra generation til generation ved at ét af morens kromosomer og ét af farens kromosomer giver anledning til barnets kromosompar (når vi ser bort fra rekombinations hændelser). Vi mennester har i alt 23 kromosompar, hvoraf de ene er kønskromosomerne (XX for kvinder og XY for mænd). På de resterende autosomale kromosomer kan man ved kun at betragte barnets DNA profil (også kaldet genotype) ikke afgøre hvilket kromosom som nedstammer fra moren og hvilket der nedstammer faren. En STR-markør kan antage et variabelt antal tilstande som kaldes alleler, hvor altså der arves én allel fra moren og én fra faren. Den typiske teknologi som benyttes til at analysere en DNA-profil angiver allelerne som heltal, fx (7,9) hvilket betyder at personen har arvet hhv allele 7 og 9 fra sine forældre. Tallele refererer til hvor mange gange en given DNA-sekvens er gentaget. Ofte er den gentagne sekvens af længde fire, fx ACAT hvor bogstaverne henviser til de fire mulige DNA-baser. Et allel 7 er derfor angivet ved ACATACATACATACATACATACATACAT. Vi kalder profiler med to forskellige alleler for heterozygote og homozygote hvis de nedarvede alleler fra forældrene er ens.

Indtil 2012 benyttede man i Danmark 10 STR-markører således at man havde 10 par af alleler. STR-markørerne er udvalgt til være statistisk uafhængige af hinanden. Ligeledes antager man ofte også uafhængig mellem allelerne inden for en given STR-markør. Det betyder at sandsynligheden for at observerer genotypen hvor er allele frekvensen (hyppigheden) af allel 7 (tilsvarende for allele 9) og hvor faktoren på 2 skyldes at (7,9) kan fremkomme på to måder (idet vi ikke kan se hvilket allel der kommer fra hvilken forældre). Uafhængigheden mellem STR markørerne gør at vi kan gange bidragene fra de forskellige STR-markører sammen hvorved vi slutteligt opnår ganske små sandsynligheder for den specifikke DNA-profil, fx i størrelsesordenen .

Usandsynlige hændelser?

Allerede i 2001 blev man i USA bekymret over at antageligt urelaterede personer havde nær sammenfald af DNA-profiler. Med nært sammenfald menes der at man enten matcher på begge alleler på en STR-markør eller matcher på ét af de to alleler. Har vi fx DNA-profilerne og vil de matche på én markør (den sidste hvor begge har alleler 13 og 14), delvist matche på den anden markør (overlapper på allel 11) og mismatch på den første markør (ingen alleler tilfælles). Weir (2004, 2007) beskrev hvorfor sådanne sammenfald ikke er overraskende selvom hyppighederne for DNA-profiler er ganske små. Han sammenlignende fænomenet med det såkaldte “fødselsdagsproblem”, som mange har stiftet bekendtskab med i deres introduktion til sandsynlighedsregning: Hvor mange elever skal man have i en klasse før sandsynsynligheden for mindst ét par har samme fødselsdag overstiger 50%?. Som det ses nedenfor (blå kurve) har man for 23 elever mere end 50% chance for to personer med samme fødselsdag. Det kan virke intuitivt forkert når nu året har 365 dage – men svaret er at vi ikke har angivet hvilken dato der er tale om. Fastholder vi datoen får vi den røde linje, hvilket er sandsynligheden at mindst èn anden har samme fødselsdag som fx dig. For den blå kurve laver vi alle parvise sammenligninger for eleverne, hvilket svarer til sammenligninger som for svarer til 253 sammenligninger.

Det samme gør sig gældende for DNA profiler i en database. Hvis vi undersøger sammenfaldet mellem hvert par af DNA-profiler bliver det lynhurtigt til rigtigt mange sammenligninger. I 2012 udgav vi en artikel hvor vi sammenlignede 51,517 danske DNA profiler som var genotypet på 10 STR-markører. For et par af DNA-profiler udledte Weir at for en enkelt markør er sandsynlighederne for forskellige grader af overlap givet ved:
,

,
hvor , er summen af allel frekvenser opløftet i ’te.

Vi fandt efterfølgende en effektiv måde at beregne det forventede antal DNA profiler med markører med fuldt match og markører med delvist match (partial match). Dette kan også omregnes til at DNA profilerne har alleler tilfælles. For de 51,517 DNA-profiler fandt vi at teorien og praksis stemte glimrende overens (afgivelserne for høje antal sammenfaldende alleler kan forklares af øget usikkerhed på små sandsynligheder samt der kan korrigeres for sub-populations effekter – det er undladt her.)

Foruden rene DNA-profiler optræder DNA-profiler ofte i blandinger af to eller flere DNA-profiler, hvilket kaldes DNA-miksturer eller DNA-blandinger. Det betyder at man ikke entydigt kan fastslå bidragsyderne til en given blanding, hvilket øger antallet af mulige DNA-profiler som skal sammenlignes. Risikoen for sammenfald mellem DNA-profiler vokser altså når man også tager DNA-blandinger i betragtning.

Effekten af at øge antal markører fra 10 til 16 STR-markører

I Rigspolitiets skrivelse indstilles der til at øge antallet af STR-markører fra 10 STR-markører til 16 STR-markører. Nedenfor ses hvordan sandsynlighederne påvirkes af at øge antal STR-markører på ovenstående udtryk. Risikoen for nær sammenfald af DNA-profiler mindskes altså betragteligt når antallet af mulige fælles alleler vokser til 32 fra 20. Faktisk er forholdet mellem og givet ved 545,969,753 – altså en faktor på mere end 500 mio.

Referencer

B.S. Weir (2004) Matching and partially-matching DNA profiles, Journal of Forensic Science 49 (5): 1–6

B.S. Weir (2007) The rarity of DNA profiles, Annals of Applied Statistics 1 (2): 358–370.

T Tvedebrink, P.S. Eriksen, J.M. Curran, H.S. Mogensen, N. Morling (2012) Analysis of matches and partial-matches in a Danish STR data set, Forensic Science International: Genetics 6 (3): 378-392

Tidlige computerspil var “flade” – karakterne kunne hoppe over, men ikke “til siden”. Nu er de naturligvis rumlige – på den flade computerskærm. Man kan så gå udenom i stedet for at forsøge at hoppe over. Men man kan stadig være fanget i et låst lokale. Hvis man har en fjerde dimension kan man bruge den til at “gå udenom”. Det er der nogen, der har lavet spil med – her er et forsøg, som muligvis ikke er realiseret:

Matematikere og anvendere af matematik har ikke noget problem med at tale om eksempelvis data i dimensioner højere end 3. For en gymnasieelev kan det lyde meget besynderligt og mange spørger “Er den fjerde dimension så tiden?” Men for daglige brugere af  modeller for fysik, biologi, økonomi og helt generelt højere dimensionalt data, er det slet ikke noget, vi overvejer.

Et punkt (1,-3,7,0,534,14) ligger for os i dimension 6, det 6-dimensionale rum. Der er nemlig 6 koordinater.  Vi kalder dette rum for (udtales “r seks” og ikke “r i sjette”) At vi så ikke lige kan tegne det ind i et koordinatsystem er en anden sag. Man kan sagtens regne med 6 koordinater uden at tegne. I det følgende tænker jeg ind imellem på sådan et punkt som en vektor – fra Origo til (1,-3,7,0,534,14) – og ind imellem som et punkt.

Nedenunder er a = og b=

Addition og multiplikation med en skalar (et tal):

(her er k et reelt tal.)

Afstand, vinkler, indre produkt.

Der er flere afstandsbegreber (metrikker), men den historie får I en anden gang. Her går vi med den Euklidiske version, som er den, de fleste er vant til. Jeg skriver alt i dimension 6, men det er naturligvis samme historie i dimension 238:

Skalarprodukt (indre produkt): – gang koordinater sammen parvis og læg resultaterne sammen.

Længden 

Afstand: Afstand mellem punkter er længden af vektoren, der forbinder dem: 

Vinkler: Vinklen v mellem a og b kan findes udfra

Kugler og kuber.

Cirkler i planen og kugleflader i rummet med centrum C og radius r, er begge karakteriseret ved, at det er du punkter, der har  afstand r til et punktet C. Det kan umiddelbart generaliseres:

Kuglefladen med centrum i C=(c_1,c_2,\ldots,c_6)  og radius r er de punkter, der opfylder Med centrum i Origo og radius 1 får vi

, de punkter i , som har længde 1. Hvorfor og ikke ? Fordi sådan en kugleflade har en dimension mindre – ligesom man kan have planer i . Den historie må også vente… Kuglefladen i er altså og er en cirkel.

Rektangler og kasser kan også fint generaliseres. De punkter, der opfylder er en kasse, et hyperrektangel om man vil.

Der er mere om kugleflader (kugler) i blogindlægget om kuglepakninger

Den “tesseract”, der vises i filmen ovenfor, er en kube i , en hyperkube. Altså punkter , hvor alle koordinater ligger mellem 0 og 1. Ydersiden af sådan en kube er der, hvor mindst en af koordinaterne er enten 0 eller 1. En sædvanlig kube har 6 sideflader:      .

En hyperkube har 8 kuber på sin “overflade”:  ,  . De hænger sammen – ligesom sidefladerne på en sædvanlig kube. Man kan selvfølgelig ikke se det i vores sædvanlige dimension, men man kan lave en film, hvor man ser projektionen af en roterende hyperkube:

En sædvanlig kube, der roterer kan vores hjerne straks lave 3d, selvom den er på en 2d skærm:

Kurver og kontinuitet.

Det går jo fint med at generalisere det, vi kender fra plan og rum. Nu prøver vi med kurver. vi skal jo snyde i et spil og komme ud af et lukket rum ved at bruge en dimension mere.:

En parametriseret kurve i er en funktion ,  , funktionen tager én koordinat ind og giver n koordinater ud. Man kan også sige, at den består af n koordinatfunktioner.

Kontinuitet: Gymnasieintuitionen om “ikke at løfte blyanten” har det svært, når blyanten skal tegne noget i højere dimensioner. I får definitionen at tygge på, men faktisk kan jeg nøjes med sige ,  er kontinuert, hvis alle koordinatfunktionerne er kontinuerte.

Her er definitionen: ,  er kontinuert i $t_0$, hvis der til ethvert findes et , så   garanterer, at

Jeg illustrerer, hvordan man kommer ud af et kugleformet rum – I kan selv oversætte til noget med kasser:

Hvis en 2d-computerspilsfigur er spærret inde i cirklen og kun kan bevæge sig i planen, så kan den ikke komme ud (uden at krydse gennem cirklen): Lad os antage, jeg har bevæget mig ud langs kurven  startende med t=0 sluttende med t=1. Det er en kontinuert kurve (ellers kan alt lade sig gøre i det computerspil 🙂 ).

Så er , fordi jeg begynder indenfor cirklen. Og , fordi jeg ender udenfor. Nu påstår jeg, at der er et tidspunkt , hvor . Hvorfor? Jo, den sammensatte funktion er kontinuert og g(0)<1, g(1)>1. Så siger mellemværdisætningen, at der findes , hvor .

Hvis den 2d-computerspilsfigur får sig en ekstra dimension, så kan den komme ud – den hopper over kanten:

• Lad os starte i (0,0), som nu udvides med en dimension – vi starter i (0,0,0).
• Første del af kurven er r(t)=(0,0,t) for t mellem 0 og 1.
• Næste del er r(t) = (t-1,0,1) for t mellem 1 og 3 – nu er vi kommet til punktet (2,0,1).
• Sidste del er r(t)= (2,0,4-t) for t mellem 3 og 4. Nu er vi i punktet (2,0,0) og vi folder den tredie dimension sammen igen.

Jeg passerer naturligvis igen et sted, hvor |r(t)|=1, men det er i punktet (0.0.1), som jo ikke ligger på cirklen. Jeg hopper over.

Hvis jeg er lukket inde i kan jeg komme ud med samme trick: Jeg starter i (0,0,0). Folder min fjerde dimension ud og er nu i (0,0,0,0). Den kontinuerte kurve ud er

• (0,0,0,t) for t mellem 0 og 1. Så er vi i (0,0,0,1)
• (t-1,0,0,1) for t mellem 1 og 3. Så er vi i (2,0,0,1)
• (2,0,0,4-t) for t mellem 3 og 4. Vi ender i (2,0,0,0) of folder den fjerede dimension ind igen.

Der er naturligvis et tidspunkt, hvor |r(t)|=1, nemlig i punktet (0,0,0,1), men det er ikke på , som er punkter  (x,y,z,0). Jeg er “hoppet over” via den fjerde dimension.

Har man knuder på snørebåndene eller på sit strikkegarn, kan man også have nytte af en fjerde dimension. Der kan alle knuder løses op…

I årets valgkamp ville Ekstrabladet have politikere til at underkaste sig en løgnedetektor. Det ville politikerne ikke – og det er der mange gode grunde til. En af dem er, at løgnedetektorer ikke virker. Det er ellers så smart i de amerikanske film, i talkshows og andre steder, at man kan finde “sandheden” med sådan en test. Men det er der ikke noget belæg for. (Nedenstående er en delvis genudsendelse fra Numb3rs-bloggen, men mon ikke, mange har glemt det indlæg…)

I bogen The Lie behind the Lie detector er en lang udredning om problemerne ved løgnedetektorer. Man kunne ellers forestille sig at man ret let kunne lave kontrollerede forsøg, eller undersøge noget af alt det data, man har fra allerede udførte løgnedetektioner, og det har man  også gjort, men det giver ikke gode resultater. Problemet er bl.a., at de fysiologiske reaktioner, man måler, også kan komme fra andet, end at man lyver. Og det er meget vanskeligt at skille ad. Og så er vi jo et stykke væk fra noget objektivt. Se også The polygraph and lie detection.
Et andet problem er, at forskellige personer fortolker et løgnedetektorudkrift forskelligt – i en Nature artikel fra 1984 tog man 207 udskrifter fra løgnedetektorer i en stribe senere opklarede sager og fik dem analyseret af 14 andre løgnedetektoreksperter. Det gav dom til 43 % af de uskyldige og frikendelse til 36 % af de skyldige…

Det er selvfølgelig værst, at man risikerer at dømme en uskyldig, men i andre lignende situationer kan både falske positive og falske negative være problematisk. Tester man for en sygdom kan det være lige problematisk at sende raske personer igennem en behandling med bivirkninger som at overse nogen, som er syge.

Hvordan ved man, om en test er god?

En test for en sygdom skal jo finde de syge, men helst ikke udpege for mange raske som værende syge. Lad os sige, man har en positiv test, hvis den viser, man er syg.

Der er et antal falsk positive FP (raske, som tester positivt)

Et antal falsk negative FN (syge med en negativ test)

Et antal sandt positive SP( De syge med positiv test)

Og et antal sandt negative SN (raske med negativ test)

Specificitet er , andelen af de raske, som tester negativt, altså sandsynligheden for at testen viser, man er rask, givet man er rask,  P(testrask|rask).
Sensitiviteten er , andelen af syge, der tester positivt P(testsyg|syg).

Vi er mere interesserede i “den anden vej”:

Den positivt prædiktive værdi er , andelen af positivt testede, som rent faktisk er syge, sandsynligheden for at være syg, når testen viser, man er det, P(syg|testsyg).
Eller, man kan se på den negativt prædiktive værdi , andelen af negativt testede, der rent faktisk er raske P(rask|testrask).
De prædiktive værdier afhænger af, hvor stor en andel af de testede, der er syge, prævalensen. Og ikke kun af sensitivitet og specificitet.

Eksempel: En test har sensitivitet 0,86 og specificitet 0,92

På et hospital henvises folk, som mistænkes for at have  sygdommen, til test. På et andet er det en test, der laves på alle. Prævalensen i det første tilfælde er altså højere end i det andet tilfælde.

På Hospital 1 er 37 ud af 49 patienter syge. (Prævalensen er 37/49=0,76)

SP=0,86×37=32,
SN=(49-37)x0,92=11,
FP=12-11=1,
FN=37-32=5.

Specificitet SN/(SN+FP)=11/12=0,92

Sensitivitet SP/(SP+FN)=32/37=0,86

Positiv prædiktiv værdi SP/(SP+FP)=32/33=0,97

Negativ prædiktiv værdi SN/(SN+FN)=11/16=0,69

På Hospital 2 er 37 ud af 157 syge. Prævalens 0,24

SP=32, SN=110, FP=10,  FN=5,

Specificitet SN/(SN+FP)=110/120=0,92

Sensitivitet SP/(SP+FN)=32/37=0,86

Positiv prædiktiv værdi SP/(SP+FP)=32/42=0,76

Negativ prædiktiv værdi SN/(SN+FN)=110/115=0,96

Hvis man tester en stor befolkningsgruppe med få syge, vil den negative prædiktive værdi være stor, i.e., hvis man tester negativt, er man med stor sandsynlighed rask. Men dem, der tester positivt vil i mange tilfælde være raske, i.e., sandsynligheden for at være syg givet testen viser syg, er lille. (Tallene er fra How sensitive is sensitivity, how specific is specificity, Phillips, Scott og Blasczcynski, American Journal of Roentgenology. Prøv selv at regne på, hvod der sker, hvis der er 37 syge ud af 12037. Så bliver positiv prædiktiv værdi 0.03 og negativ prædiktiv værdi 0,99. Der er altså rigtig mange blandt dem, der tester positivt, som alligevel er raske – her 97 ud af 100. Det er det, man skal overveje, når man laver store screeninger for sygdomme. Der er flere raske, som skal undersøges yderligere, måske behandles og i hvert fald bliver unødigt bekymrede.

På Understanding Uncertainty er der en fin animation af andre eksempler.

Løgnedetektorer igen.
Lad os nu antage, at de kan finde løgnere med en vis sandsynlighed (det kan de ikke, men alligevel…). Tester man alle, der ansøger om job i FBI, CIA,… og det gør man…vil dem, der ser ud til at lyve, stadig med ret stor sandsynlighed tale sandt. I.e., mange får et stempel som spion, uden at være det. Dem, der udses som ikke værende spioner, er det med ret stor sandsynlighed ikke, men det er mere fordi, der er rigtig mange, der ikke er spioner, end fordi man er god til at finde spioner. Der vil jo stadig være en enkelt spion der slipper ind nu og da.

Vi kan være glade for, at vi ikke bruger metoden til noget seriøst i Danmark og håbe på, det forbliver noget, der hører til pjattede TV-programmer. Så fans af Doctor Phil eller  andre populære brugere af løgnedetektorer bør tage det med et gran salt. Udover det helt oplagte, at sårbare mennesker ikke bør være underholdning. Men det er ikke matematik – bare almindelig ordentlighed.

Tirsdag blev årets Abelprisvinder annonceret i en live streamet begivenhed i Oslo.

Karen K.Uhlenbeck får prisen for sit nybrudsarbejde (de skriver “nybrottsarbeid” på norsk) indenfor geometriske differentialligninger, gaugeteori og integrable systemer. Og for den fundamentale indflydelse, hendes arbejde har haft i analyse, geometri og matematisk fysik.

Her fortæller Karen Uhlenbeck om Emmy Noethers arbejde. (Foto Andrea Kane, IAS,Princeton) Noether var  i 1928 en af hovedforedragsholderne ved den internationale kongress for matematiker, ICM. Den næste kvinde i rækken af hovedforedragsholdere ved ICM var Karen Uhlenbeck i 1990.

Karen Keskulla Uhlenbeck (f. 1944) har, ligesom de andre Abelprismodtagere, haft en lang karriere i matematik og der er mange fine interviews og portrætter af hende på nettet. På Celebratio.org er hun  portrætteret i et fint interview af Allyn Jackson. Der er i øvrigt andre fine matematikerportrætter.

Jeg kender Uhlenbecks matematik fra da jeg i mit speciale beskæftigede mig med Gaugeteori. Uhlenbecks “bubbling” var helt centralt i det, der dengang var det hotte emne, 4-dimensionale mangfoldigheder og nye ideer, som forbandt forskellige områder af matematik og Gaugeteori fra fysik. Jeg vil (og kan) ikke forklare Uhlenbecks arbejde i detaljer, men nybrud, som Abelpriskommiteen kalder det, er en god overskrift.

Minimalflader, variationsregning og bobler/instantoner.

Minima og maksima for funktioner kendes fra gymnasierne. Man skal differentiere funktionen og finde nulpunkter.

Variationsregning er et skridt videre: Det, der skal minimeres er et funktional, som er en funktion, hvis input er andre funktioner. Det klassiske eksempel er det brachistochrone problem: Lav den hurtigste kuglebane mellem to punkter. Kuglen lægges i det øverste punkt og er kun påvirket af tyngdekraften, mens den ruller til det andet punkt. Man ville måske gætte på en linje – det er sådan en pæn kurve – men den blå kurve nedenfor giver svaret.

Man skal altså se på alle de kurver, der findes fra A til B – kurverne er de variable, funktionen er den samlede tid.

Mere generelt ser man på den samlede energi. Der er her vide rammer for, hvad energifunktionalet kan være. Man kan faktisk også her differentiere og finde nulpunkter for den afledede, men det kræver mere maskineri. Og man får bragt partielle afledede ind i billedet.

Uhlenbecks PhD-afhandling, “The calculus of variations and global analysis”, 1968, er i dette område.

Mens det brachistochrone problem drejer  sig om alle kurver mellem to punkter, kan man i stedet se på flader (2-dimensionale objekter) mellem givne randkurver (tænk på sæbehinder)

OBS: Det er ikke det, der er Uhlenbecks “bubbling”.

Man leder her efter fladen med mindst areal. Trækker man ringene langt fra hinanden, får man to sæbehinder – en i hver ring.

I det mere generelle problem, som Uhlenbeck og Jonathan Sacks løste, har man flader i mere komplicerede rum end vores sædvanlige Euklidiske. En flade er da en funktion fra kuglefladen til dette mere komplicerede rum. De konstruerer en følge af sådanne afbildninger, som allesammen er “pæne” og kommer tættere og tættere på en ny flade – en grænse for følgen. Matematikstuderende har set den slags grænsefunktioner i indledende analyse.

Grænsefladen er en funktion, som er pæn, bortset fra i et endeligt antal punkter, singulariteter. Tæt på singulariteterne har man “bubbling”. Arealet af grænsefladen er mindre end forventet – det er ikke grænsen for arealerne af følgen. Noget af arealet er boblet af – som et stykke tyggegummi.

Metoden og ideerne har haft enorm indflydelse – grænser, der kan kontrolleres, bortset fra i endelig mange punkter, er ikke så ringe endda. Og bubbling giver en forståelse af singulariteterne.

Gauge Teori

(udtales som en engelsk port, “gage”) drejer sig i fysik om de fænomener, som ikke ændrer sig, selvom man skifter “koordinatsystem” – laver en gaugetransformation. Fysikerne Yang og Mills fik i 1999 Nobelprisen for det, de i 1954 havde foreslået som en model for den svage vekselvirkning og som udvidede de hidtil brugte “koordinatskift” (til ikke-abelske grupper for de indviede).

Det, der skal være uafhængigt af valg af koordinatsystem er nogle partielle differentialligninger.

Invarians under koordinatskift – et simplere eksempel:

“Vindretningen er NNØ (Nord Nord Øst), hvor jeg står” giver kun mening, hvis jeg har et koordinatsystem med retningerne. Men vinden har den retning, den har.

Står man på Nordpolen, given NNØ ikke mening – der skal bruges flere koordinatsystemer for at beskrive retninger på Jorden, og tilhørende “oversættelser” fra et koordinatsystem til et andet.

Tilbage til Gaugeteori. Den kombination af partielle differentialligninger (Yang Millsligningerne)  og geometri (kugleflader, mere komplicerede flader og lignende højeredimensionale objekter – mangfoldigheder) kræver nye metoder og mod til at gøre noget i det ene matematiske område, som man aldrig har prøvet før. Uhlenbeck gav matematisk fast grund under fødderne i studiet af Yang Mills ligningerne. Bl.a. er bubbling fundamentalt. Uhlenbeck forklarer selv i interviewet med Allyn Jackson, at bubbling fungerer, når man har et problem, der er invariant under skalering – noget, hun allerede havde klarlagt i sin phd-afhandling.

Som den skarpsindige læser vil se, er Uhlenbecks arbejde ikke let at forklare. Hun har arbejdet mellem matematiske områder og kastet sig ud på det dybe vand imellem områderne.

Karen Uhlenbeck i Berkeley i 1969.

En anden side af Karen Uhlenbeck er hendes arbejde for at give matematikken videre. Hun startede, sammen med Dan Freed i 1996 Park City Mathematics Institute, PCMI, hvor bl.a. gymnasielærere og matematikere mødes. Det er flere parallelle sommerskoler og har haft stor betydning for mange, som er mødtes der. Der er en forskningsdel for phd-studerende og der er fokus på at give minoriteter i faget mulighed for at få fodfæste.

Karen Uhlenbeck har haft enorm indflydelse i både matematik som fag og blandt matematikere, og potentielle matematikere, hvor hun siger, hun håber, hun kan være rollemodel for de skæve eksistenser. Hun er rollemodel for mange, hun er en matematisk superstjerne og nu får hun Abelprisen. Det er jeg meget begejstret for.

Læs mere i Quanta Magazine  og på Abelprisens sider. Der er mange andre, men dem finder I nok, når I Googler.

Jeg er lidt sent ude, men det bliver jo jul alligevel.

Der kommer ikke julekalender her på bloggen. Men der er heldigvis andre, der tror, de kan holde dampen oppe og poste 24 indlæg med matematik. Så her skyder vi genvej og henviser til andre.

Først på tysk Mathe im Advent
Man skal vistnok tilmelde sig.
The Aperiodical har selvfølgelig en julekalender. Der er mange fine matematikhistorier og opgaver. Og naturligvis Møbiusbånd.

Matthew Scroggs, endnu en matematikformidler i Storbritannien, har opgaver og hovedbrud.

Plus Magazine har en. Med Podcasts.

Transum, som jeg ikke kendte i forvejen har også en – med opgaver.

Og så noget matlabkode forklædt som juletræ:

Koden finder I her.

I kan vælge forskellige parametre. Hvor mange kugler skal der på? Hvor skinnende skal kuglerne være… Uhyre nyttigt 🙂

En artikel i Nature Communications om et “nyt matematisk objekt” har givet genlyd. Scutoiden hedder den lille ny. Den kan ses på figur d, hvor to scutoider passer sammen (den grønne og den gule)

Illustration fra Nature Communications.

Scutoider er (op)fundet af en gruppe forskere – biologer, dataloger, matematikere, som ville forstå, hvordan visse typer væv, epithelvæv, er opbygget. Den slags væv er lagdelt – eller pakket mellem nogle lag. Ifølge artiklen i Nature, er der epithel-celler, som forbinder celler i to (flade) lag. Det har man bl.a. set i bananfluer – drosophila.

Billede fra Wikipedia – cell junctions.

Hvis lagene ikke krummer, er der allerede en fin model, hvor de to lag forbindes med prismer og keglestubbe (a og b på første figur – frustrum er keglestub).

Men hvad nu, hvis lagene krummer? Som eksempelvis når væv er afgrænset omkring en blodåre, tarmene eller noget i den retning?

I hvert afgrænsende lag danner cellegrænserne Voronoiceller:

 De røde prikker er centre. Et punkt i en “celle” ligger tættere på det røde punkt i cellen end på noget andet rødt punkt.

Sådan er det altid – uanset, om lagene krummer eller ej. Nu skal to sådanne lag forbindes. I modellen skal der laves en forbindelse fra hver Voronoicelle i det ene lag til hver Voronoicelle i det andet, som man ser i a) og b) i første figur. Når lagene er plane, har man hidtil kunnet gøre det med keglestubbe og prismer – fordi man i det tilfælde har lige mange kanter langs matchende Voronoiceller i de to lag.

Forestiller vi os nu, at de to lag er cylindriske med forskellig radius som i c) og desuden for at gøre det simplere, at cellekernerne ligger “samme sted” bortset fra radiuskoordinaten – mere præcist: Punkter i rummet kan beskrives med en radius, vinkel og en højde. Figuren nedenfor viser radius, vinkel og højde . Cellekernerne på de to forskellige cylindere har altså samme , men forskellig

Hvad sker der så med Voronoicellerne? Bliver de ikke bare “ganget ud” med radius? Nej! For afstande mellem punkter på cylinderne bliver ikke bare ganget:

Afstande på en cylinder kan findes ved at “rulle cylinderen ud” til et rektangel og måle i planen.

Er cylinderen h høj og har radius r, er rektanglet h på den ene led og på den anden. Med samme højde og radius R er det h på den ene led og på den anden. Og så ændrer Voronoicellerne sig kvalitativt. På billederne nedenfor, som Jakob Gulddahl Rasmussen har lavet til mig, er 6-kanten omkring det midterste punkt blevet til en 4-kant, når der strækkes på den ene led. Linjestykkerne er midtnormaler mellem par af punkter (på linjestykket er der lige langt til to af “cellekernerne”) og de slutter, når de møder andre midtnormaler. I kan lege med, hvordan det ændrer sig, når man strækker på den ene led, eller  når man flytter  i en af de mange apps, der findes. Her er en på University of Michigan. – Se mere på Numb3rsbloggen

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Og så kommer problemet: Man skal indsætte en forbindelse mellem celler med forskelligt antal kanter. Det kan ikke være en keglestub eller et prisme, for de har samme antal kanter i øverste og nederste flade. Det er her Scutoiden skal bruges. I figuren øverst ser man scutoider mellem femkanter og sekskanter. Den ene kant i scutoiden deler sig et stykke nede i to kanter. (Hvis man flytter delepunktet helt ned (eller op), får man et prisme, men det er ikke sådan, vævet opfører sig.)

Scutoidens sider er ikke plane – de krummer. Men det har vist sig, at det er sådan, det ser ud, når man kigger nærmere på en bananflue, eller hvad man nu har.

Scutoider bruges nu til at lave modeller for epithelvæv. Man gætter på, at de kan bruges til at lave kunstigt væv.

Man kan købe 3d-printede scutoider, der er artikler om scutoider her, der og allevegne. Jo, den lille ny er berømt.

Selvfølge har den uforlignelige Matt Parker lavet en video om scutoider. Med piberensere… Og interview med matematikeren bag.

Om det er ny matematik, kan man bestemt godt diskutere. Men det er ny indsigt og giver nye anvendelsesmuligheder i et samarbejde mellem mange fagområder. Det er da helt fremragende!

Lisbeth Fajstrup spurgte mig tidligere på året, om jeg kunne skrive et blogindlæg, som svarede på de to følgende spørgsmål: (1) hvorfor skal -værdier være mindre end og (2) hvordan flere sammenligninger har indflydelse på -værdien (også kaldt multiple testing problemet). Det er to gode spørgsmål, og i skrivende stund, mens vi er kommet godt ind i det nye år, har jeg endelig tid (taget mig sammen til at finde tiden) til at svare på de to spørgmål. Inden jeg gør dette, for at sikre vi alle er på samme side, introducerer jeg kort -værdi konceptet, med den sædvanlige tunge definition og et kort eksempel. Hvis læser allerede ved hvad -værdier er, kan dette afsnit nemt hoppes over. Hvis læser aldrig har hørt om -værdier før og ønsker en mere fuldstændig introduktion, så se for eksempel the American Statistical Association’s artikel fra 2016.

Kort introduktion til p-værdier

Helt generelt defineres -værdien som:

Sandsynligheden for at observere en teststørrelse der er ligeså eller mere ekstrem, end hvad der allerede er observeret, givet at nulhypotesen er sand.

For at illustrere, hvordan dette skal forståes, lad os tage et eksempel:
Lad os sige, at vi vil undersøge om befolkningen bakker op om Formel 1 ræs i København. Vores nul hypotese er at befolkningen hverken er for eller imod, altså at opbakningen er fifty-fifty. Alternativet er, at opbakningen er mindre eller større end , da vi ikke forud for undersøgelsen har indsamlet noget information.

Vi går ud i landet og spørger seks tilfældige personer. Det viser sig at alle seks personer støtter op om forslaget. Under nulhypotesen er sandsynligheden for at se seks observationer ‘imod‘ forslaget:

 

og da vi ikke er forudindtagede, så er seks individer ‘for‘ forslaget lige så ekstrem en observation. (Og der kan ikke være observationer, som er mere ekstreme.) Dette medfører en -værdi på:

 

Er dette nok til at forkaste nulhypotesen? Hvis vi skal spørge det hav af lærebøger der bruges i statistik undervisning, vil de sige, at nulhypotesen forkastes så snart -værdien er mindre end . Perfekt! Alt er som det være, verden er flad placeret på ryggen af en skildpadde der står på ryggen af en større skildpadde.

Den udregnede -værdi fortæller os ikke meget andet end, hvad vi kan læse af definitionen: Hvis nulhypotesen er sand, så er sandsynligheden for at trække en ny stikprøve, hvor andelen er mere ekstrem end den vi så ovenfor, lige over . Er tre procent nok til at vi ikke tror det er et tilfælde?

Hvis vi sætter en beslutningsgrænse (signifikansniveau) kan vi begå to typer af fejl:

• Type I: Nulhypotesen forkastes selvom den er sand.
• Type II: Nulhypotesen forkastes ikke selvom den er falsk.

Sætter vi beslutningsgrænsen i vores eksempel ovenfor til, at alle seks er ‘for‘ eller alle seks er ‘imod‘, før vi forkaster nulhypotesen, så er sandsynligheden for at begå en Type I fejl (-værdien set ovenfor).

Sandsynligheden for at vi begår en Type II fejl vil afhænge af signifikansniveauet og den sande andel af populationen som er ‘imod‘ (eller ‘for‘) Formel 1 løb i København. Lad os se hvad der sker, når vi antager at sande andel af populationen som er ‘imod‘ er (altså er andelen, der er ‘for‘ ). Vi antager som ovenfor, at vi kun forkaster nulhypotesen når alle seks er ‘for‘ eller alle seks er ‘imod‘, givet dette signifikansniveau er sandsynligheden for at se seks observationer ‘imod‘ forslaget:

 

og sandsynligheden for at se seks observationer ‘for‘ er:

 

Dette giver en sandsynlighed for at begå en Type II fejl på:

 

hvor kaldes for den statistiske styrke af testen, og fortolkes som sandsynligheden for forkaste nulhypotesen, givet at den faktisk er falsk.

Det vil sige, at hvis den sande andel af populationen som er ‘imod‘ er , vil nulhypotesen ikke blive forkastet i knap af tilfældende, selvom den er falsk og  den sande andel ‘imod‘ forslaget endda ligger meget langt fra nulhypotesen, . Vi kan gøre det samme for enhver andel og resultatet kan ses i figuren nedenfor. Bemærk: figuren kun viser den første halvdel, da figuren er symmetrisk omkring 0.5.

 

Grunden til den høje sandsynlighed for Type II fejl i denne sammenhæng er valget af signifikansniveau og, hovedsageligt, det lave antal af observationer. Dette betyder at når vi designer et studie, (planlægger, hvor mange og hvem, vi skal spørge/teste/…,)  så prøver vi at finde en balance mellem tre størrelser: signifikansniveauet, styrken, og stikprøve størrelsen.

 

Hvorfor skal p-værdier være mindre end 5%, før de kaldes statistisk signifikante?

Ikke et specielt tilfredsstillende svar, men det er sandheden. Vi lærer vore elever og studerende det, fordi vi selv fik det at vide af vore undervisere. Dette svar, kombineret med at flere tidsskrifter i de seneste år har valgt at direkte afvise artikler der indeholder -værdier, gjorde at ‘the American Statistical Association’ (ASA) i 2016 publiserede en artikel der redegjorde for, hvad -værdier er og hvordan de bør fortolkes (en udmelding der fik, blandet andet, danske statistikere Claus Thorn Ekstrøm og Per Bruun Brockhoff, til at stikke hånden i vejret og proklamere: “Intet nyt under solen”). Det svarer dog ikke rigtigt på spørgsmålet: Hvorfor lige præcis ?

Det simple svar er: fordi R. A. Fisher skrev det og hans ord lov. Fisher er en af de mest anerkendte statistikere, og bliver generelt betragtet som en af fædrene til moderne statistik. Et eksempel på Fishers brug af signifikansniveauet, kan ses i hans artikel fra 1926:

If one in twenty does not seem high enough odds, we may, if we prefer it, draw the line at one in fifty (the 2 per cent point), or one in a hundred (the 1 per cent point). Personally, the writer prefers to set a low standard of significance at the 5 per cent point, and ignore entirely all results which fail to reach this level. A scientific fact should be regarded as experimentally established only if a properly designed experiment rarely fails to give this level of significance.

Altså giver Fisher en følge af mulige signifikansniveauer efterfulgt af hans foretrukne niveau på . Lignende argument findes i hans bog ‘Statistical Methods for Research Workers‘ (1925), dog præsenteret ved standardafvigelser (for en normalfordelt teststørrelse svarer et signifikansniveu på til knap 2 standard afvigelser). Ydermere, indeholdt bogen tabeller til opslag af fraktiler af (bestemte) sandsynlighedsfordelinger, som indeholdte: , , , , ,….

Det heller ikke så vigtigt at signifikansniveauet lige præcist er , det er størrelsesordenen som er vigtig; det gør ikke den store forskel om signifikansniveauet er , , eller . Men denne størrelsesorden giver, i de fleste tilfælde, en god balance mellem den statistiske styrke og stikprøve størrelsen. Altså kan vi med et signifikansniveau omkring opnå en høj styrke uden at skulle indsamle en fuldstændig ekstrem stor stikprøve.

Hvorfor lærer vi så stadig vore elever og studerende, at signifikansniveauet bør være ? Som jeg ser det er der tre grunde:

1. Det leder, i de fleste tilfælde, til en god balance mellem andelen af Type I fejl, Type II fejl og størrelsen af stikprøven.
2. Det gør det nemmere at sammenligne studier, hvis alle bruger det samme signifikansniveau og samme styrke.
3. Det er nemmere at lære et stort antal elever en ‘kageopskrift’, end at få dem til at tage stilling til den andel af Type I og II fejl, de vil tillade i deres analyse.

 

Multiple testing problemet

Problemet opstår, når flere hypoteser testes på samme tid. Jo flere hypoteser der testes på samme tid, jo større er sandsynligheden for, at der opstår en fejl. Lad os i det følgende antage at andelen af acceptable Type I fejl er sat til .

Lad os eksempelvis sige, at vi i stedet for at teste et nyfundent stof direkte for dens effekt på sygdommen , derimod tester det for effekten på 100 forskellig symptomer. Ydermere, antag at nulhypotesen er sand i alle 100 tilfælde (altså at der ingen effekt er). Dette vil medføre et forventet antal Type I fejl på 5 (). Hvis de 100 hypotesetest, vi foretager, kan antages at være uafhængige, giver dette en sandsynlighed på for at se mindst en Type I fejl, (hvor vi altså konkluderer, at stoffet virker på mindst et af symptomerne) da: .

Sandsynligheden for mindst en Type I fejl, kaldes også ‘the familywise error rate‘ (FWER). Et oplagt spørgsmål er: hvordan kan vi sikrer at FWER er mindre end den acceptable andel af Type I fejl? Der har gennem årene været en del bud på løsninger til dette problem. Vi kaster et kort blik på den simpleste og mest anvendte procedure, Bonferroni korrektionen.

Lad være -værdien for hypotese , så afvises , i følge Bonferroni, hvis

 

hvor er den acceptable andel af Type I fejl og er det totale antal af hypoteser. I vores eksempel er og . Beviset for at Bonferroni korrektionen sikre FWER er som følger:

 

hvor første ulighed holder ved Booles ulighed, der siger at:

 

Bonferroni korrektionen er en særdeles konservativ metode, hvis der laves mange hypotese test eller -værdierne er positivt korrelerede. Dette betyder at korrektionen foregår på bekostning af et større antal Type II fejl.

I de senere år, er dette blevet et problem ifm. ‘genome-wide association studies‘ (GWAS). Her testes forskellen i individers DNA baser (de byggesten vore kromosomer består af) for deres indflydelse på en sygdom eller et fænotypisk træk (så som hårfarve). Applikationer som denne, har ført til en række alternativer til Bonferroni korrektionen. Den mest anvendte her i blandt er ‘false discovery rate‘ (FDR), som blev formelt beskrevet af Yoav Benjamini og Yosef Hochberg i 1995, altså en forholdsvis ny metode i denne sammenhæng. Mere information kan findes på wikipedia siderne: ‘Multiple comparison problem‘, ‘Bonferroni correction‘, ‘False discovery rate‘, og ‘Genome-wide association study‘.