Om ligningen på vores Flyt Verden sider

Ligesom sidste år, fortæller vi kommende studerende, at de virkelig kan flytte verden, hvis de får lært sig noget teknisk-naturvidenskabeligt. Det gør vi på Flyt Verden. Matematikuddannelserne finder man under et ikon, hvori der står $e^{i\pi}+1=0$ i en udgave, som en grafiker synes ser smart ud. Hvad laver den ligning mon der? Bortset fra, at den ser smart ud.

Den kaldes Eulers ligning. Symbolerne, der indgår, er stort set kendt fra gymnasiet: $\pi, +, =, 1, 0$ og vel også $e^{x}$ for $\exp (x)$ , men der står også $i$ , og det er sågar sat ind i eksponentialfunktionen.

Komplekse tal

Symbolet $i$ fra Eulers ligning er et tal, der løser ligningen $x^2+1=0$ , altså en kvadratrod af $-1$ . Det er jo lidt uvant for de fleste, at man kan tage kvadratroden af en negativt tal, men ligesom vi indfører $\sqrt{2}$ som betegnelse for et tal, der løser $x^2-2=0$ , så kan man med lidt tilvænning acceptere, at $i^2=-1$ . Nu følger straks, at $(2i)^2=2^2i^2=4\cdot(-1)=-4$ , at $(-i)^2=i^2=-1$ , at $(1+i)(5+2i)=5+2i+5i+2i^2=5-2+(2+5)i=3+7i$ , at $(5+2i)+(3+4i)=8+6i$ og mange andre regnerier, som følger af at insistere på, at man kan gange ind i paranteser, som man plejer og at $ab=ba$ , som det plejer at være. Et komplekst tal er et af disse nye tal, altså et tal $a+ib$ , hvor $a,b$ er sædvanlige reelle tal.

Man kan altså gange komplekse tal sammen ved reglerne for at gange ind i paranteser. Kan man mon dividere? Eller mere præcist: Hvis nogen kommer med et komplekst tal, $a+ib$ , som ikke må være $0$ , kan man så finde $c+id$ , så $(a+ib)(c+id)=1$ . Ja. Det kan man. Man skal lade $c+id=\frac{1}{a^2+b^2}(a-ib)=\frac{a}{a^2+b^2}-i\frac{b}{a^2+b^2}$ . Check selv, at det virker. Nu kan man så dividere med $a+ib$ ved at gange med $\frac{a}{a^2+b^2}-i\frac{b}{a^2+b^2}$ . Ligesom man dividerer med 2 ved at gange med $\frac{1}{2}$

Komplekse funktioner

Kald de komplekse tal for $\mathbb{C}$ . En kompleks funktion $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ tager et komplekst tal som input og giver et komplekst tal som output. Eksempelvis kunne man have $f(z)=z^2$ , hv or $z$ nu står for et komplekst tal. Andre af de sædvanlige reelle funktioner har også en version, der giver mening, når input er et komplekst tal. Polynomierne har naturligvis – man kan jo gange komplekse tal med sig selv, så $z^{14}$ giver også mening.

I Eulers ligning optræder $e^{i\pi}$ . Og ja, eksponentialfunktionen $f(x)= e^x$ kan udvides til at omfatte de komplekse tal. For de reelle tal kan man vise, at

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots$

Det er en uendelig række – man bliver ved med at lægge mindre og mindre led til, sådan som jeg fortalte om i Mod det Uendelige Univers. Eftersom vi kan lægge komplekse tal sammen og gange dem med hinanden, kan man forsøgsvis definere

$e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots +\frac{z^n}{n!}+\cdots$

Hvor man lader $z$ være et komplekst tal. Giver det så mening? Jeps. Det konvergerer, og ovenikøbet kan man vise, at

$e^{a+ib}=e^a(\cos(b)+i\sin(b))$

Hvilket synes at være et overordentlig mystisk sammentræf. Men det er nu sådan, det er, uanset om det ser mærkeligt ud.

Og så er vi klar:

$e^{i\pi}=e^{0+i\pi}=e^0(\cos(\pi)+i\sin(\pi))=-1$ eller m.a.o. $e^{i\pi}+1=0$ . Voila. Hvorfor skriver man så ligningen på den måde – altså lægger 1 til på begge sider? Jo, det er for at få så mange vigtige tal med, som man kan stoppe ind, nemlig 0, 1, $e, \pi, i$ . Nogen på står, at det er “alle de vigtige tal” – men det kan man selvfølgelig diskutere. Vi har skam mange andre, som er både pæne og vigtige.