Flyt Verden med Eulers formel.

Flyt Verden er ikonet for matematik Eulers formel e^{i\pi}+1=0. Hvad laver den der og hvad flytter den mon?

I (PR for) matematikuddannelserne forfiner vi budskabet til Forstå, Forudse og Flyt Fremtiden (Matematik), Forudse Fremtiden (Matematik-økonomi), Tag Del i Teknologiens Udvikling (Mat-Tek).

Alle steder kan man få brug for Eulers formel og den indsigt, den giver.

I gymnasiet møder man eksponentialfunktioner e^x eller med en anden notation:  \exp(x) er en funktion. Den kan beskrives og defineres på mange måder, eksempelvis

  1. Den funktion, som løser differentialligningen f'(x)=f(x) og opfylder f(0)=1 e^{i\pi}. (Altså udfra dens vækst – sådan ser I den første gang i gymnasierne.)
  2. Den inverse funktion til den naturlige logaritme \ln(x). (Sådan gjorde man tidligere i gymnasierne. \ln(x) blev defineret som den stamfunktion til \frac{1}{x}, som går gennem (1,0).
  3. Den differentiable funktion f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, som opfylder f(a+b)=f(a)f(b) og  f'(0)=1.

I 1) bygger man på et (dybt) resultat om, at der finde sådan en løsning. I 2), at en kontinuert funktion har en stamfunktion og en strengt voksende funktion har en invers. I 3) er der igen en forudsætning om, at sådan en funktion findes. Uanset udgangspunkt, så vi e^x opfylde alle tre punkter.

e^{iy} er også en eksponentialfunktion. Jeg skrev om den sidste år og vil ikke gentage det, blot kort: i er en løsning til x^2+1=0 – populært sagt en kvadratrod af -1. Det giver en helt ny verden af tal, de komplekse tal, alle a+ ib og man kan lave sig en eksponentialfunktion med komplekse tal som input og komplekse tal som output, e^{x+iy}= e^x(\cos(y)+i\sin(y)). Den opfylder 3) ovenfor og desuden 1 og 2, når man har præciseret dette for komplekse tal. Sætter man x=0 og y=\pi får man e^{0+i\pi}= e^0(\cos(\pi)+i\sin(\pi))=-1 og vi har Eulers formel. Svingninger er dybt forbundet med komplekse tal via den komplekse eksponentialfunktion.

 complex GIF Man plotter komplekse tal i planen – x+iy er punktet (x,y). Figuren viser punkter på en cirkel, altså  (A\cos(t), A\sin(t))= Ae^{it}. Til højre ser man variationen at x-koordinaten (den blå graf) og y-koordinaten (den røde), når man løber rundt på cirklen.

  Fra Wikipedia – billedet ovenfor er lagt ned. Nederst plottes Ae^{it} =A\cos(t)+iA\sin(t) som (A\cos(t), A\sin(t)) i planen – det bliver punkter på en cirkel. Øverst er kurven ( A\sin(t),t)

 Figuren (fra Wikipedia) viser to situationer som ovenfor (den røde Ae^{it} og den blå Be^{i(t+k)} hvor k er en konstant – faseforskydning) samt summen af de to (den lilla). I nederste billede løber et rødt, et blåt og et lilla punkt rundt på tre forskelige cirkler og danner et parallellogram. Bemærk den samlede effekt på den øverste graf – det er temmelig indviklet. Men med komplekse tal kan man både regne og forstå det bedre.

Og nu forstår og flytter vi verden. Komplekse tal er nyttige, når man:

  • beskriver vekselstrøm (fase og amplitude)
  • skal forstå svingninger i økonomi – når man får brug for løsninger til x^2+1=0 i sin økonomiske model.
  • analyserer signaler, billeder,… ved Fast Fourier Transform (uden den, ikke noget digitalt tv)
  • løser differentialligninger – som kan være model for sygdomsspredning, flow over en flyvinge, EKG,…
  • beskriver rotationer (og skal bruge kvaternioner)
  • laver landkort, som skal bevare vinkler

Og der er meget mere. Men kom og læs hos os og bliv klogere. Og flyt så verden – og flyt med. Komplekse tal kun et lille hjørne af matematikken.