Olympisk matematik. Mest om orden.

Det er olympiadetid og matematikeren tænker helt ærligt ikke meget på matematik, når hun ser OL, men alligevel sniger det sig ind. På Det britiske “Millenium Math Project” lavede de op til OL i London en stor indsats for at bringe matematik og sport ud til skolerne. Der er mange ideer, som jeg da kan forestille mig, danske skoler, herunder gymnasierne, kunne have fornøjelse af. KS5 er Key Stage 5, som er omkring 2g og artikler retter sig mod det niveau og højere.

Hvilke lande klarer sig bedst til OL? Et simpelt spørgsmål, men der er ikke et entydigt svar. For hvad mener man med bedst? I en ranking er Danmark lige nu nummer 33, men vi kan også være nummer 17. Nummer 17 bliver vi i den lettest forståelige ranking, nemlig det totale antal medaljer, mens vi er nummer 33, når man i linket ovenfor klikker på guldmedaljer. Faktisk er det ikke kun guldmedaljer, men en orden, hvor man først ser på antal guldmedaljer, dernæst sølv og dernæst bronze. Iran har 2 guld, 0 sølv, 1 bronze og ligger altså højere end Danmark, som har 1 guld, 3 sølv og 4 bronze. Sverige har 1 guld, 4 sølv og 1 bronze og ligger derfor højere end Danmark.

Data for hvert land er 3 tal eller et punkt i rummet (guld, sølv, bronze) og en ranking er noget 1-dimensionalt.  Så man smider noget information væk. Det totale antal medaljer som ranking, guld+sølv+bronze, kan betragtes som en ranking via funktionen f(x,y,z)=x+y+z, altså (g1,s1,b1)\geq (g2,s2,b2) hvis f(g1,s1,b1)\geq f(g2,s2,b2) og så er der jo frit slag: Vælg en funktion h:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R} og brug ordningen af de reelle tal til at ordne punkter i rummet. Man vil jo nok kræve noget af funktionen h. Eksempelvis, at lande med lige mange guld og bronze, men forskelligt antal sølv bliver ranket efter, hvem der har flest sølvmedaljer.

Og nej, jeg siger ikke, at alle ordner giver mening – man skulle jo nødig lægge sig ud med nogen:

XKCD om for meget matematik og stangspring...

XKCD om for meget matematik og stangspring…

Ordningen efter først guld, så sølv og dernæst bronze er en leksikografisk orden. Det svarer til at sætte ord i alfabetisk orden, hvor første bogstav bestemmer mest, dernæst andet bogstav etc. Er der mon en funktion som ovenfor, der svarer til leksikografisk orden? Ja da. En ranking ER jo en funktion til de naturlige tal og dermed de reelle tal. Så spørgsmålet skal formuleres om, hvis det skal være interessant. Er der en lineær funktion f(x,y,z)=Ax+By+Cz, som giver leksikografisk orden? Ja og nej må svaret vist være. Jeg har lige vendt det med Hans Hüttel og vi konkluderer, at for OL med endelig mange medaljer kan man godt lave sådan en lineær funktion. Ja ja, jeg ved det godt. OL har ikke uendelig mange medaljer, men matematikere forsøger altid at tænke mere generelt over den slags. Så her kommer svaret med Ja:

Lad os bruge medaljerne fra London som udgangspunkt. Der blev uddelt 300 guld, 305 sølv og 356 bronze. Der gives eksempelvis 2 bronze i hver vægtklasse i taikwondo, judo, boksning og brydning og så var der nogen, der hoppede, løb, svømmede præcis lige højt, længst, hurtigt og derfor gav anledning til flere medaljer af samme metal. Nå, men uanset dette: Hvis vi nu bruger funktionen f(g,s,b)= 20.000g+500s+b og derefter bruger ordenen på de reelle tal, så vil en guldmedalje være mere værd end alle sølvmedaljer plus alle bronzemedaljer og en sølv vil være mere værd end alle bronze. Voila. Der er naturligvis mange muligheder for funktionen f. Mulighederne er begrænset som følger: f(g,s,b)=Ag+Bs+Cb skal opfylde (punkt 3 skal læses før 1 og 2 – jeg bruger den betingelse under argumentationen for 1 og 2)

  1. Hvis g1>g2 er f(g1,s1,b1)>f(g2,s2,b2). Altså Ag_1+Bs_1+Cb_1>Ag_2+Bs_2+Cb_2 eller omskrevet A(g_1-g_2)>B(s_2-s_1)+C(b_2-b_1). Worst case (eller med matematik, det, der vil medføre, at uligheden holder i alle andre situationer) må være g1=g2+1,  s1=b1=0 og s2 og b2 maksimale (landet har vundet alle sølv og alle bronze…) Altså kræves A>Bn_s+Cn_b, hvor n_s er det totale antal sølvmedaljer og n_b det totale antal bronze.
  2. Hvis g_1=g_2 og s_1>s_2 er f(g1,s1,b1)>f(g2,s2,b2), som igen er  Ag_1+Bs_1+Cb_1>Ag_2+Bs_2+Cb_2. Eftersom der er samme antal guldmedaljer, reducerer uligheden til B(s_1-s_2)>C(b_2-b_1) og igen er der et worst case, nemlig hvor s1=s2+1 og b2 er maksimalt. Det giver B>Cn_b.
  3. A,B og C skal være positive tal, da eksempelvis b1>b2 skal give f(0,0,b1)>f(0,0,b2) etc.

For OL med uendeligt mange medaljer kan leksikografisk orden ikke fremkomme ved at vælge en lineær funktion på den måde. Hvorfor? Jo, antag, at funktionen f kan bruges til det. Så er f(1,0,0) et tal, som skal være større end f(0,0,k) for alle k. Hvis f er lineær og A,B,C er positive, kan det ikke lade sig gøre.

Jo, men Danmark er et lille land. Det må tælle med i ranking. Det har de kigget på hos Milleniium Project og de har også set på BNP – er man et rigt land, har man råd til at bygge svømmebassiner og den slags. Så kan man spørge, om lande har klaret sig bedre end forventet udfra befolkningens størrelse og BNP.

Der er endda nogen, der har skrevet en artikel Who wins the Olympic Games: Economic development and medal totals De har formler for antal medaljer for et land. En smule skepsis er på sin plads – jeg har ikke set på, om formlerne giver det rigtige antal medaljer i London, men mon dog. Der er i hvert fald mange konstanter, man skal have fastsat. For eksempel indgår, om landet er en tidligere sovjetstat. Og om de har planøkonomi….

Og så lige et lille host: Hvis universiteter blev rankede leksikografisk, så ville Aalborg godt nok ligge højt på listen. Eller langt nede, hvis Aa er sidst i alfabetet…