Grisecykler og differensligninger.

Cykler og cyklisk betyder her perioder og periodisk opførsel. Men der er faktisk et begreb i økonomi, som hedder “The Pork cycle” eller “The hog cycle” og det giver vel hos de fleste indre billeder af grise på cykel. Inden vi går videre, skal I have sådan en gris:

Billedresultat for buon compleanno in ritardo

I økonomi er det en anden historie: Med en meget simpel model, afhænger efterspørgslen efter grise(kød) (kun) af prisen og det gør udbuddet også. Der er to funktioner D er “demand”, efterspørgsel, S er “supply”, udbud og de er funktioner af prisen p: D(p) og S(p).

Men prisen varierer jo med tiden, så det er ikke hele historien. Her lader vi tiden gå i “hop” og altså gør priserne det også: $p_1, p_2,\ldots, p_{n-1}.p_n,\ldots$ Og naturligvis udbud og efterspørgsel: $S_1,S_2,\ldots,S_{n-1},S_n,\ldots$ og $D_1,D_2,\ldots,D_{n-1},D_n,\ldots$ .

Man kan lade hvert hop svare til en time, en dag, en uge, en måned eller hvad der nu passer i modellen.

Nu kan vi så skrive $D_n=f(p_n)$ for at indikere at efterspørgslen idag afhænger af prisen idag. Men udbuddet af grise kan ikke afhænge af prisen idag. Den kendte griseavleren ikke, da hun besluttede, hvor mange grise, der skulle produceres. Med en passende periode (den tid, det tager at få en gris klar til salg) kan vi skrive $S_n=g(p_{n-1})$ – udbuddet idag afhænger af prisen i forrige periode.

Hvad kan vi mere sige om funktionerne $f$ og $g$ ? Las os gå ud fra, de er differentiable funktioner af en variabel $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , hvor input er pris og output er mængden af grisekød – i kilo eller en anden passende enhed. Højere pris giver mindre efterspørgsel og mere udbud, så $f'(x)<0$ og $g'(x) >0$ . Der er eksempler på varer, hvor det ikke er rigtigt – basale fødevarer, som er forholdsvis billige er et eksempel. Men det er en model, så nu går vi med den.

Her er en graf (fra Wikipedia, Creative Commons) med de to funktioner

Bemærk, at prisen er op ad andenaksen, mens mængden er på førsteaksen. Efterspørgsel er den røde kurve, udbud er den blå.

Pilene indikerer et tidsforløb: Griseavleren ved, at grisene til tid 1 er blevet solgt til prisen $p_1$ og sætter gang i produktion af $g(p_1)=Q_2$ grise. De udbydes til salg og man må forestille sig en slags auktion, hvor der nu er $Q_2$ grise, som give prisen $p_2=f^{-1}(Q_2)$ .

Det ser griseavleren og producerer så $g(p_2)=Q_3$ grise til salg. De går til prisen $p_3$ . Fortsætter man pilene rundt, kan man se, prisen svinge ind mod den pris, der svarer til skæringspunktet mellem de to kurver – den kaldes ligevægtsprisen.

Men det kunne også være gået anderledes:

Her vil prisen svinge længere og længere væk fra ligevægtsprisen. Modellen er en cobweb-model; det ligner et spindelvæv, hvis man tager flere ture rundt. Svingningen i priser er den såkaldte grisecykel.

Det afhænger tydeligvis af funktionerne $f$ og $g$ , om det går mod eller væk fra ligevægt. Det kan skrives op med en differensligning:

$S_n=D_n$ og altså $f(p_n)=g(p_{n-1})$ . Nu simplificerer vi yderligere og lader begge funktioner være lineære:

$f(x)=a+bx$ og $g(x)=c+dx$ , hvor $a>0, b<0,d>0$ og $a>c$ . c kan godt være negativ – måske produceres der ikke grise, hvis prisen er for lav.) Så bliver ligningen $a+bp_n=c+dp_{n-1}$ , som kan omskrives til

$bp_n-dp_{n-1}=c-a$

Skæringspunktet, ligevægtsprisen, er $\bar{p}=\frac{c-a}{ b-d}$ .

Sådan en førsteordens differensligning kan man løse. Generelt ser det sådan ud – vi ser på løsninger til differensligningen

$k_1y_n+k_2y_{n-1}=\varphi(n)$ med $k_1\neq 0$ og omskriver til $y_n+ky_{n-1}= h(n)$

Løs det tilhørende homogene problem $y_n+ky_{n-1}= 0$ . Løsningen er $latex y_n=(-k)^nA$ – det er ikke svært at se, at det er en løsning, uanset A, og at der ikke er andre. (Et induktionsbevis kan gøre det. Ikke noget fancy som for differentialligninger.)
Nu finder man en partikulær (altså bare en) løsning til det inhomogene problem. I vores tilfælde, hvor $h(n)$ er konstant, har vi fundet ligevægtsløsningen $\bar{y}$ .
Den generelle løsning er nu, som vi kender det fra differentialligninger, $y_n =A(-k)^n+\bar{y}$

Det bruger vi for $bp_n-dp_{n-1}=c-a$ – omskriv til $p_n+\frac{-d}{b}p_{n-1}=\frac{c-a}{b}$ og får

$p_n=A(\frac{d}{b})^n+\bar{p}$

Da $\frac{d}{b}<0$ , vil $p_n$ svinge omkring $\bar{p}$ . Hvis $d<b$ svinger det ind mod $\bar{p}$ , hvis $d=b$ svinger det frem og tilbage mellem de samme to værdier (grafen i midten nedenfor) og $d>b$ giver svingning væk fra ligevægten. Man kan selvfølgelig finde $A$ , hvis man kender en begyndelsesbetingelse. Kender man $p_ 0$ , er $A= p_0-\bar{p}$

Billedresultat for cobweb model

Man kan lege med andre forventede priser. Ovenfor tror griseavleren, prisen holder fra en periode til den næste og det synes lidt naivt… Måske ser producenterne på prisen i de to seneste perioder og så får man en andenordens differensligning. Mere generelt er adaptive forventninger det, at man lærer af, hvor meget, man skød forkert i de seneste perioder. Der findes naturligvis mere generelle modeller og prisdannelse på andre markeder såsom ejendomsmarkedet.