Langlands får Abelprisen 2018 for at stille gode og dybe spørgsmål.

I 1967 skrev den dengang 31-årige Robert P.Langlands et 17 sider langt brev til André Weil. Weil var 30 år ældre og en af den tids store og indflydelsesrige matematikere. De to mødte hinanden, da de ventede på at komme ind til et foredrag, Langlands gav sig til at fortælle om nogle ideer og Weil foreslog ham at skrive dem ned. Måske for at slippe væk… Weil inviterede desuden Langlands til at besøge ham på Institute of Advanced Studies, Princeton og det lange brev skrev han inden besøget. Billedet her viser, hvad Langlands skrev på forsiden: ”In response to your invitation to come and talk I
wrote the enclosed letter. After I wrote it I realized
there was hardly a statement in it of which I was certain.
If you are willing to read it as pure speculation
I would appreciate that; if not – I am sure you have
a waste basket handy.”

Weil fik renskrevet de 17 sider – på skrivemaskine – og det er det, derblandt matematikere kaldes Langlandsprogrammet.

Nu får Langlands Abelprisen for sine “spekulationer”! Han har naturligvis selv bevist matematiske resultater, men priskomitéen skriver, han får prisen for “sit visionære program, der forbinder repræsentationsteori og talteori.”

Langlands på en konference i 2016. (Dan Komoda/Institute for Advanced Study)

Langlandsprogrammet indeholder nogle formodninger (conjectures) og et program for, hvordan man bør kunne bevise, at disse er korrekte. Det drejer sig om nogle forbindelser mellem områder af matematik, som ellers er ret forskellige i både emneområde og metoder. Den slags forbindelser giver sædvanligvis anledning til rigtig mange nye indsigter i begge områder. Lad mig forsøge at kaste lys på et lille hjørne af, hvad det går ud på:

Nogle primtal kan skrives som en sum af to kvadrattal:

$2= 1^2+1^2$
$5= 1^2+2^2$
$13=2^2+3^2$
$17=1^2+4^2$
$29=2^2+5^2$

Hvis man ser bort fra 2 (vi skriver “for et ulige primtal”, men der betyder jo bare, at 2 ikke er med) har alle disse primtal en fælles egenskab: Et primtal p, som ikke er 2, kan skrives som en sum af to kvadrattal hvis og kun hvis $p=4k+1$ , hvor k er et naturligt tal. Det beviste Euler. Det er et eksempel på en reciprocitetslov – en egenskab ved primtallene udtrykkes ved division med rest . Her er det division med 4, som skal give rest 1. Vi skriver $p\equiv 1 \mod 4$

Et komplekst tal $a+bi$ kaldes et Gaussisk heltal, hvis $a,b$ er hele tal. Hvis $p=m^2+n^2$ , så er $(m+in)(m-in)=p$ ( husk, $i^2=-1$ og så er resten givet ved at gange ind i paranteser) og omvendt. Et primtal p er et produkt af to Gausisske heltal hvis og kun hvis det er en sum af to kvadrattal.

De Gaussiske rationale tal er tal $a+bi$ , hvor a og b er rationale tal (kan skrives som en brøk $\frac{c}{d}$ , hvor c og d er hele tal. Ganger, dividerer, adderer eller subtraherer man to Gaussiske rationale tal med hinanden, er resultatet rationalt. De Gaussiske rationale tal udgør derfor ikke bare en delmængde $\mathbb{Q}(i)$ af de komplekse tal, men et legeme. Man kan se det som en udvidelse af de rationale tal – man tilføjer $i$ og reglen $i^2=-1$ og “beholder” regnereglerne. Det kaldes en legemsudvidelse.

Nu ser vi på symmetrier.
Hvilke afbildninger har vi $f:\mathbb{Q}(i)\to \mathbb{Q}(i)$ , som er lineære: f((a+bi)+(c+di))=f(a+bi)+f(c+di) og bevarer produktstrukturen f((a+bi)(c+di))=f(a+bi)f(c+di) og desuden opfylder f(a+0i) = a+0i. Der er kun to afbildninger: Identitetsafbildningen f(a+bi)=a+bi og g(a+bi)=a-bi.

Da g(g(a+ib))=a+ib (man får skiftet fortegnet to gange), udgør funktionerne f og g en gruppe og g har orden 2 – sammensæt den med sig selv to gange, så får man identiteten.Det er Galoisgruppen for legemsudvidelsen $\mathbb{Q}(i)$ over $\mathbb{Q}$ .

Tilsvarende kan man se på Galoisgruppen for andre udvidelser af de rationale tal. Tænk på $\mathbb{Q}(i)$ som en udvidelse af $\mathbb{Q}$ med rødder i $x^2+1$ og dermed kvadratrødder af alle negative rationale kvadrattal. Vi ved, at alle andengradspolynomier $ax^2+bx+c$ med rationale a,b,c, har to rødder (mere præcist, kan skrives $a(x-r_1)(x-r_2)$ med $r_1,r_2\in \mathbb{R}(i)$ og en formel for disse rødder kan skrives blot med brug af kvadratrodssymbolet.

Alle tredjegradspolynomier med rationale koefficienter $x^3+ a_2x^2+a_1x+a_0$ har rødder, som kan opskrives ved brug af kvadratrødder og kubikrødder. Tilsvarende for 4.gradspolynomier, når man tilføjer fjerde rødder. Men for femtegradspolynomier går det galt. Det viste Abel og Galois. Det er altså ikke nok at kunne løse ligninger $x^5=a$ for at kunne løse alle femtegradspolynomieligninger. Det mere generelle spørgsmål er, om der er en sammenhæng mellem løsninger til et polynomium $P(x)$ og et andet $Q(x)$ .

Man kan formulere resultatet om primtal som sum af kvadrattal via Galoisgrupper. For et (ulige) primtal p er $i^p=i$ , hvis $p\equiv 1\mod 4$ og $i^p=-i$ , hvis $p\equiv 3\mod 4$ . Funktionen $z\to z^p$ kaldes en Frobeniusafbildning og er et element af Galoisgruppen. Frobeniusafbildningen er forbindelsen mellem “kan man skrive p som en sum af to kvadrattal” og “hvad er $p \mod 4$ “.

Tilsvarende spørgsmål. Polynomiet $x^2+x+1$ har rod 1, når man regner modulo 3, da $1^2+1+1=3\equiv 0\mod 3$ . Men 1 er ikke en rod modulo 5. Hvor meget information er der i, at kende antallet af rødder modulo primtal? Og hvad har det med Galoisgrupper at gøre?

Langlandsprogrammet foreslår en vidtrækkende generalisering af dette.

Det giver en forbindelse mellem harmonisk analyse – automorfe former, som er funktioner fra de komplekse tal til de komplekse tal med visse periodicitets egenskaber – og rødder i polynomier undersøgt via regning med rest som ovenfor. Andrew Wiles brugte en forbindelse af den type, da han løste Fermats problem.

Jeg har støttet mig til dels informationen på Abelprissiderne nogle noter fra et foredrag at Laurent Lafforgue, som fik Fieldsmedaljen for sit arbejde med Langlandsprogrammet og diverse populariseringer.