Bloggen her er naturligvis den bedste i hele Verden, men der findes andre matematikblogs, som jeg i øvrigt lader mig kraftigt inspirere af ind imellem. Her er nogle eksempler – måske kan der være ideer til blogindlæg, som I kan bede om/foreslå. Jeg holder mig her til blogs på engelsk eller dansk.

Den amerikanske (forstået som USA) matematiske forening, AMS, har flere blogs, herunder en Blog on math blogs.

Quanta Magazine er ikke en blog, men en imponerende samling artikler om både matematik og anden videnskab. De har en blog, Abstractions.

The Aperiodical  er “et mødested for folk, der kan lide matematik og gerne vil vide mere”. Tre hovedforfattere, som har hver deres stil og interesse. De organiserer en opsummering af andre matematikblogs under overskriften Carnival of Mathematics. Det er andre blogs, der skiftes til at lave dette overblik, men der linkes fra the Aperiodical.

Plus Magazine formidler på et lidt lavere niveau end de ovenstående. Og det er strengt taget ikke en blog…

Sandsynligvis.dk er en dansk blog om sandsynligheder og statistik.  Søren Højsgaard er en af forfatterne.

Og mange, mange flere, men nu har I nok at klikke rundt i. Finder man Terry Taos blog eller Timothy Gowers’ blog, har de alenlange “blogrolls” med links til andre matematikblogs.

Det er olympiadetid og matematikeren tænker helt ærligt ikke meget på matematik, når hun ser OL, men alligevel sniger det sig ind. På Det britiske “Millenium Math Project” lavede de op til OL i London en stor indsats for at bringe matematik og sport ud til skolerne. Der er mange ideer, som jeg da kan forestille mig, danske skoler, herunder gymnasierne, kunne have fornøjelse af. KS5 er Key Stage 5, som er omkring 2g og artikler retter sig mod det niveau og højere.

Hvilke lande klarer sig bedst til OL? Et simpelt spørgsmål, men der er ikke et entydigt svar. For hvad mener man med bedst? I en ranking er Danmark lige nu nummer 33, men vi kan også være nummer 17. Nummer 17 bliver vi i den lettest forståelige ranking, nemlig det totale antal medaljer, mens vi er nummer 33, når man i linket ovenfor klikker på guldmedaljer. Faktisk er det ikke kun guldmedaljer, men en orden, hvor man først ser på antal guldmedaljer, dernæst sølv og dernæst bronze. Iran har 2 guld, 0 sølv, 1 bronze og ligger altså højere end Danmark, som har 1 guld, 3 sølv og 4 bronze. Sverige har 1 guld, 4 sølv og 1 bronze og ligger derfor højere end Danmark.

Data for hvert land er 3 tal eller et punkt i rummet (guld, sølv, bronze) og en ranking er noget 1-dimensionalt.  Så man smider noget information væk. Det totale antal medaljer som ranking, guld+sølv+bronze, kan betragtes som en ranking via funktionen f(x,y,z)=x+y+z, altså hvis og så er der jo frit slag: Vælg en funktion og brug ordningen af de reelle tal til at ordne punkter i rummet. Man vil jo nok kræve noget af funktionen h. Eksempelvis, at lande med lige mange guld og bronze, men forskelligt antal sølv bliver ranket efter, hvem der har flest sølvmedaljer.

Og nej, jeg siger ikke, at alle ordner giver mening – man skulle jo nødig lægge sig ud med nogen:

XKCD om for meget matematik og stangspring…

Ordningen efter først guld, så sølv og dernæst bronze er en leksikografisk orden. Det svarer til at sætte ord i alfabetisk orden, hvor første bogstav bestemmer mest, dernæst andet bogstav etc. Er der mon en funktion som ovenfor, der svarer til leksikografisk orden? Ja da. En ranking ER jo en funktion til de naturlige tal og dermed de reelle tal. Så spørgsmålet skal formuleres om, hvis det skal være interessant. Er der en lineær funktion f(x,y,z)=Ax+By+Cz, som giver leksikografisk orden? Ja og nej må svaret vist være. Jeg har lige vendt det med Hans Hüttel og vi konkluderer, at for OL med endelig mange medaljer kan man godt lave sådan en lineær funktion. Ja ja, jeg ved det godt. OL har ikke uendelig mange medaljer, men matematikere forsøger altid at tænke mere generelt over den slags. Så her kommer svaret med Ja:

Lad os bruge medaljerne fra London som udgangspunkt. Der blev uddelt 300 guld, 305 sølv og 356 bronze. Der gives eksempelvis 2 bronze i hver vægtklasse i taikwondo, judo, boksning og brydning og så var der nogen, der hoppede, løb, svømmede præcis lige højt, længst, hurtigt og derfor gav anledning til flere medaljer af samme metal. Nå, men uanset dette: Hvis vi nu bruger funktionen f(g,s,b)= 20.000g+500s+b og derefter bruger ordenen på de reelle tal, så vil en guldmedalje være mere værd end alle sølvmedaljer plus alle bronzemedaljer og en sølv vil være mere værd end alle bronze. Voila. Der er naturligvis mange muligheder for funktionen f. Mulighederne er begrænset som følger: f(g,s,b)=Ag+Bs+Cb skal opfylde (punkt 3 skal læses før 1 og 2 – jeg bruger den betingelse under argumentationen for 1 og 2)

1. Hvis g1>g2 er f(g1,s1,b1)>f(g2,s2,b2). Altså eller omskrevet . Worst case (eller med matematik, det, der vil medføre, at uligheden holder i alle andre situationer) må være g1=g2+1,  s1=b1=0 og s2 og b2 maksimale (landet har vundet alle sølv og alle bronze…) Altså kræves , hvor er det totale antal sølvmedaljer og  det totale antal bronze.
2. Hvis og er f(g1,s1,b1)>f(g2,s2,b2), som igen er  . Eftersom der er samme antal guldmedaljer, reducerer uligheden til  og igen er der et worst case, nemlig hvor s1=s2+1 og b2 er maksimalt. Det giver .
3. A,B og C skal være positive tal, da eksempelvis b1>b2 skal give f(0,0,b1)>f(0,0,b2) etc.

For OL med uendeligt mange medaljer kan leksikografisk orden ikke fremkomme ved at vælge en lineær funktion på den måde. Hvorfor? Jo, antag, at funktionen f kan bruges til det. Så er f(1,0,0) et tal, som skal være større end f(0,0,k) for alle k. Hvis f er lineær og A,B,C er positive, kan det ikke lade sig gøre.

Jo, men Danmark er et lille land. Det må tælle med i ranking. Det har de kigget på hos Milleniium Project og de har også set på BNP – er man et rigt land, har man råd til at bygge svømmebassiner og den slags. Så kan man spørge, om lande har klaret sig bedre end forventet udfra befolkningens størrelse og BNP.

Der er endda nogen, der har skrevet en artikel Who wins the Olympic Games: Economic development and medal totals De har formler for antal medaljer for et land. En smule skepsis er på sin plads – jeg har ikke set på, om formlerne giver det rigtige antal medaljer i London, men mon dog. Der er i hvert fald mange konstanter, man skal have fastsat. For eksempel indgår, om landet er en tidligere sovjetstat. Og om de har planøkonomi….

Og så lige et lille host: Hvis universiteter blev rankede leksikografisk, så ville Aalborg godt nok ligge højt på listen. Eller langt nede, hvis Aa er sidst i alfabetet…

Der er stadig plads til dig på matematikstudierne. Matematik og statistik, Matematik-Økonomi og Matematik-teknologi.  Du kan tilmelde dig her. (Matematik-teknologi er en civilingeniøruddannelse, så det er der, du finder den på listen over ledige studiepladser. Matematik-økonomi og Matematik og statistik er under naturvidenskab..) Bemærk, at du kan indsende ansøgning helt op til studiestart.

Bliver du nu mistænksom og tænker: Det er nok ikke så fint som at komme ind på uddannelser, der kræver højt gennemsnit, så tænk om igen: Der mangler folk med solid matematisk baggrund. Derfor har vi ikke nogen begrænsning på, hvor mange vi optager på de uddannelser. Der har ikke været arbejdsløshed blandt matematikere i mands minde – muligvis var der det i 30’erne, men det er der så ikke lige nogen, der kan huske.

Du skal være god til matematik, hvis du vil læse hos os. Og have lyst til at arbejde med faget. Men det vidste du nok godt. Fik du 10 eller 12 i matematik til studentereksamen, er du formentlig god til matematik. Fik du 7 med det yderste af neglene, er du muligvis også god til matematik. Fik du 4 eller derunder, så er du vel helt ærligt ikke særlig god til matematik. Med mindre du havde lungebetændelse, migræne og/eller sovet dårligt natten inden eksamen. (Har du fortrudt, at du ikke arbejdede nok i gymnasiet, så det der 4-tal skyldes dovenskab, så meld dig på BrushUp og få pudset matematikken af, inden du kommer.)

Nå ja og så den med de høje gennemsnit. Det er ikke noget, universiteterne fastsætter. Vi (eller politikerne) bestemmer et antal, der kan komme ind. Hvis der er plads til 30, ordner man ansøgerne efter karaktergennemsnit. Det gennemsnit, nummer 30 har, er adgangskravet. Der er også uddannelser, der selv kræver et minimumsgennemsnit, men det er ikke dem, du læser om i aviserne.

Velkommen til bloggen. Måske er du lige begyndt på et af de tre studier, der hedder noget med matematik Matematik og Statistik, Matematik-økonomi og Matematik-teknologi eller måske en af de mange andre uddannelser, der ikke hedder det, men indholder matematik.

Bloggen fylder et år, så jeg vil give en lille oversigt for dig, der er ny på siden eller måske ligesom jeg har glemt, hvad vi har skrevet om.

Indlæggene har været

Sker der noget nyt i matematik? om de mange, mange nye artikler (100.000 om året) og resultater, der kommer i matematik.

Fra fladt papir til krumme flader. Om matematikken bag, hvordan grafen kan komme til at krumme.

Hvad er det næste tal? Om følger af hele tal, som de eksempelvis optræder i IQ-tests og om Neil Sloanes oversigt over rigtig mange af den slags følger. Og hvorfor det kan være nyttigt for anden end IQ-test.

Smilehuller og rynker – golfbolde og fingeraftryk Et nyt resultat om, hvordan lagdelte stoffer danner mønstre på overfladen. Matematikken er krumning og geometri.

Gæt næste tal i rækken Næste tal i rækken kan være hvad som helst. Men kan altid finde et system, der begrunder, at næste tal er det, man nu vil have, det skal være.

Studiepraktik. Kom og besøg os. Studiepraktik i 2015. Det gør vi igen i 2016. Der kom senere et indlæg om, hvad der var foregået. 

Krumning – indre og ydre Om den matematiske måde at tale om krumning på.

Verdens Statistikdag 20/10 2015 var Verdens Statistikdag ifølge FN. Der er rigtig gode grunde til at sætte fokus på at have gode data. Og altså hylde statistikken.

Findes der matematiske genier? Matematikere får ikke ideer ved at ligge på stranden og være geniale. Der er masser af hårdt arbejde involveret. Læs også, hvad Terence Tao har sagt om netop det.

Idag er det Booles fødselsdag. Hurra hurra… Om Boole og hans bidrag til matematik, elektronik, datalogi,…

Et nyt resultat om kompleksitet(?)- rygters bureau. Det forlød, at et nyt resultat om kompleksitet af grafisomorfiproblemet ville blive præsenteret – og rygtet talte sandt,. på bloggen skrev vi om, hvad det gik ud på.

abc-formodningen. Nej, det er ikke noget med alfabetet. En matematisk formodning, som påstås bevist i en række artikler, som der er meget få, der mener, de forstår. Men på bloggen kastede vi os ud i en forklaring af, hvad formodningen siger. det er ikke helt så svært.

Mod det uendelige univers. Uendelighed har vi under en form for kontrol i matematik. Vi har definitioner, så vi ved, hvad vi taler om. Det forklarer vi i dette indlæg.

Hvor ved vi fra, at logaritmefunktionen går mod uendelig? Titlen siger vist, hvad dette handler om…

Epsilons hemmelighed. En julekalender, som ikke er der. Bloggen havde ikke en julekalender, men der er links til andre matematikblogs, som har julekalender.

Komplekse tal og flotte mønstre. Matematik kan bruges til at lave flotte mønstre. Her er det med udgangspunkt i de komplekse tal. Nærmere bestemt Gaussiske primtal – se mere i indlægget.

Nyt år i matematik I anledning af nytår kom et indlæg om anvendt matematik og forbindelserne til og fra matematik, som endnu ikke bruges i andre fagområder. Med udgangspunkt i en artikel skrevet af Ingrid Daubechies.

Matematikfilm fra gamle dage. Amerikanske film om matematik. Fra 60’erne.

Hvordan man kommer til kort. Om matematikken bag landkort – fra den runde jord til flade kort.

Cantormængden. De reelle tal er så sære, at man bliver helt svimmel. Cantormængden er et af mange eksempler på dette.

Meget store primtal. Der blev fundet endnu et meget stort primtal. Indlægget handler om primtal og hvorvidt det er interessant, at der er endnu et meget stort et. (Hint: det er det sådan set ikke).

Cantormængder – på den fede måde. Andre sære delmængder af de reelle tal – her “fede Cantormængder”.

Mød AAUs matematikere – nogen af dem. Henvisning til foredrag for gymnasieelever og andre matematikinteresserede i Ungdommens Naturvidenskabelige Forening.

For få kvinder på Læsø? Det gav store overskrifter, at “kvinderne forlader udkantsdanmark”. Her forklarer vi, hvordan man analyserer den slags tal. Om data kunne være udtryk for noget tilfældigt eller det ser ud til at være noget andet.

Når livet er lineært. er titlen på en bog. Indlægget drejer sig om at bruge smarte metoder fra lineær algebra til billedbehandling.

Når livet er lineært II Mere fra samme bog. Her om matricer og grafer (netværk).

Kan man skrive en børnebog om Fermats sidste sætning? Ja. det kan man. Indlægget forklarer noget om Fermats sidste sætning og om den danske børnebog, der handler om en del af beviset.

Turingprisen til Diffie og Hellman. Turingprisen blev givet for Kryptering med offentlig nøgle. Indlægget forklarer, hvad det går ud på og hvad Diffie og Hellman har lavet.

Hvorfor er der kvaternioner i mit computerspil? Kvaternioner bruges til at beskrive rotationer. Vi fortæller, hvordan det hænger sammen. Og hvad kvaternionerne er.

Idag er det Einsteins fødselsdag. Hurra, hurra, hurra (og det er Pi-dag). Om tallet pi og hvorfor det dukker op så mange steder.

Abelprisen 2016 gik til Andrew Wiles.

Steffen Lauritzens tiltrædelsesforelæsning. Steffen tiltrådte som adjungeret professor. Indlægget handler om grafiske modeller, som Steffen har være primus motor i at udvikle.

Keplerproblemet er løst i dimension 8 og 24 Keplerproblemet drejer sig om kuglepakninger. man kan pakke kugler i højere dimensioner. Og man kan spørge,hvor tæt de kan ligge. Det er nu besvaret i dimension 1,2,3, 8 og 24. Vi forklarer, hvordan det mon kan være, at det netop er de dimensioner.

Symmetri og kvasisymmetri. Friser, fliser, tapeter og krystaller. Symmetri har en helt bestemt betydning i matematik. Vi forklarer om, hvordan man “regner” med symmetri. Og om fliselægninger, der ikke har symmetri, selvom der bruges de samme fem fliser hele tiden.

Om ligningen på vores Flyt Verden sider. På AAUs “Flyt Verden” sider bruger vi ligningen . Her forklarer vi, hvad den betyder.

Lidt mere om symmetri og det, der ligner. Mønstre, der ser regulære ud, men ikke passer helt ind i beskrivelsen af symmetri, er måske dele af symmetri i højere dimension. Den indsigt – om kvasikrystaller – gav Nobelprisen. Vi forklarer noget af dette.

Matematik og vira. En meget ny anvendelse af symmetri er på virus og deres muligheder for at udvikle sig. Det fortæller vi om her.

På grænsen mellem matematik og biologi sker der rigtig meget lige nu. Biologiske problemstillinger er komplekse, der er bunker af data og der er ikke mindst store og væsentlige problemer. For nylig har Reidun Twarock etableret en forbindelse mellem geometri og symmetri og hvordan virus udvikler sig. Og det har givet helt ny indsigt i både virus og i øvrigt også design af malariavaccine. Jeg hørte første gang Reidun Twarock holde foredrag om det område i 2009 i Novi Sad og igen i Oxford i april i år, så nu er jeg inspireret. Billedet viser vira (virusser, hvis man ikke er sprogrevser). De forskellige farver er forskellige proteiner. Tak til Reidun for at have forklaret mig nærmere om hele dette felt, at have svaret på mine spørgsmål og sidst men ikke mindst for at lave så cool matematik. Læs eventuelt mere i nogle slides, hun har brugt. Eller find et foredrag med hende på YouTube eksempelvis her eller her.

Røntgenstruktur af vira (fra Reidun Twarock)

Virus er pakket ind i et ikosaeder. DNA (og RNA) er for de mange virustyper pakket ind i en capsid, en skal af proteiner, som for de fleste vira er et ikosaeder. Altså en bøtte lavet af proteiner, som DNA sidder indeni. Det har vi vidst siden Crick og Watson (1956) – det er en del af det “genetisk økonomiske princip”. (Genetic economy, hvis I vil Google).

Ikosaederet har 20 sideflader, som allesammen er ligesidede trekanter.

Ikosaederet har “mest” symmetri blandt de platoniske legemer – polyedere, hvor alle sideflader er ens. Kender man en side af et ikosaeder, giver det de 19 andre. Og der er rotations symmetri, som bringer ikosaederet over i sig selv. Rotationssymmetrierne for ikosaederet udgør en gruppe af orden 60. Den største rotationsgruppe i 3D. (Den største endelige undergruppe af matrixgruppen SO(3), for dem, der ved, hvad det betyder. Nærmere bestemt  er det A5, den alternerende gruppe.) Der er kun en større gruppe symmetrier, nemlig , som har orden 120 og udover ikosaedergruppen inkluderer spejlinger, men capsider har sædvanligvis ikke spejlingssymmetri.

Symmetri på overfladen Donald Caspar og Aaron Klug (Nobelpris 1982) opdagede i 1963, at områder på overfladen har endnu mere symmetri – på hver af de trekantede sider af ikosaederet er der yderligere symmetri i placeringen af de forskellige proteiner, der sidder på overfladen. Den nye indsigt er, at symmetrien fortsætter ind i ikosaederet og giver information om, hvordan dna og rna pakker sammen og hvordan virus udvikler sig. Den forståelse giver nye angrebsmuligheder for medicin.

Man har altså på hver af siderne af ikosaederet et “mønster”, som kan findes ved at tage mønsteret på en af trekanterne og rotere det rundt til de andre. Hvilke muligheder er der så?

En mulighed er, at hver side er opdelt i mindre trekanter, hvor proteinerne sidder  i hvert hjørne. Så passer puslespillet sammen i kanterne. Disse muligheder kortlagde Caspar og Klug ved at se på, hvordan man kan folde et ikosaeder ud og anbringe det på et bikube (heksagonalt) mønster.

Men man ved, nogle vira har femkanter med protein 1 i hjørnerne og protein 2 midt i. Og man kan ikke lave et “bikubeagtigt” mønster med femkanter. De passer simpelthen ikke sammen.

Symmetri med orden 5. Tværsnit ind igennem virus, som viser, hvordan strukturen udvides ind gennem det indre af ikosaederet. (Billede fra Reidun Twarock)

De nye bidrag er

• En fliselægningsteori for vira med flere typer fliser – end trekanterne hos Caspar og Klug. Herunder de femkantede strukturer, som eksempelvis optræder i HPV-virus og andre Polyomavira. (Fodboldspillende læsere ved jo allerede, at man kan bruge femkanter til at dække med, hvis blot man har andre byggeblokke også. – Det har man jo på en traditionel fodbold.)
• Udvidelse af symmetrierne indad i ikosaederet – affin udvidelse hedder det. Det bruger symmetrigrupper og gitterstruktur, altså krystalgrupper i det 6-dimensionale rum, som vi så det  tidligere på bloggen i forbindelse med kvasikrystallerne.
• Ved at bruge 3D-fliselægning (og ikke bare 2D på overfladen af ikosaederet) har Twarock et.al. udviklet nye modeller for virusarkitektur, som giver flere muligheder end bare at udvide indad fra 2D-fliserne.

Strukturen af HPV-virus

HPV har lokale grupper med fem proteiner – de kaldes pentamerer. Det har 72 pentamerer. 12 af dem sidder, så de passer med den symmetri, der allerede er i ikosaedergruppen (omkring akser, der roteres rundt og tilbage i sig selv med fem “moves”.) Men de resterende 60 er lokale symmetrier, altså ikke det, der allerede er i ikosaederet. De roteres så over i hinanden. (Forestil jer femkantede blomster i tapetmønstrene fra sidste blogindlæg. De flyttes over i hinanden, men har selv noget yderligere symmetri.)

Viral fliselægningsteori kan forklare denne struktur. Det er aperiodisk a la Penrosefliselægning.

Viral fliselægning. Flere typer fliser.

Hvordan samler virus sig – assembly modeller.

Nu ved man altså, at der er sammenhæng mellem systemerne på overfladen og byggeblokkene inde i virus. Næste spørgsmål er, hvordan opstår systemet – hvordan bygges sådan en capsid med indeholdende virus?  (Hvis man har leget med FoldIt, som er et spil, hvor man folder proteiner, så kender man problemet. Hvordan folder proteiner sammen mest effektivt.) Hvordan finder virus den/de mest effektive måde/måder blandt de oceaner af muligheder, der er for at samle byggeblokkene. Det har gruppen bag ovenstående også løst. Det gælder om at samle byggeblokkene udfra proteiner. Hver proteinbyggeblok binder først til genomet og derefter til de andre byggeblokke via protein/protein interaktion. Det viser sig, at de mest effektive samlevejledninger og derfor dem, naturen bruger, svarer til at hver kontakt mellem genomet og capsidskallen sker præcis en gang i hver position, altså hvert hjørne. Så byggemulighederne er en tur rundt på overfladen, hvor man besøger hvert hjørne præcis en gang – grafteoretikerne kalder det en Hamiltonsk sti.

Den gule sti er en Hamiltosnsk sti mellem hjørnerne af byggeblokkene. Bemærk, at man ikke behøver gå på alle kanterne. (Billede fra Reidun Twarock)

De nye indsigter har givet et paradigmeskift i hvordan man forstår “assembly” for virus og dermed mulighederne for at bekæmpe sygdom. Det er en virkelig flot eksempel på, hvordan matematik bidrager til ny forståelse og nye opdagelser i biologi.

Jeg vil gerne fortælle jer om noget ny matematik for virus, men først skal vi have uddybet begrebet kvasikrystaller og aperiodiske fliselægninger, så dette bliver lidt en gentagelse fra sidst – dog med pænere billeder…
Klassifikation er et kerneområde i matematik. Basalt drejer det sig om, hvor mange forskellige xxx, der findes. Og her må man både have gjort klart, hvad man mener med forskellig og hvilke dyr, der hører under xxx.

Som tidligere omtalt, har vi en klassifikation af de symmetrier af planen, som

• Indeholder translation i to retninger (vektorer)  – mønsteret er bevaret, selvom man skubber det med hvor m og n er hele tal.
• Derudover kan indeholde rotation, spejling og glidespejling.

Der er 17 forskellige symmetrier af den type. De er allesammen med på

figurerne nedenfor, som jeg har taget med, simpelthen fordi de er så flotte…. Bemærk, hvordan en grundfigur bliver flyttet rundt af symmetrierne, så det dækker hele planen. Jeg har ikke givet den helt præcise beskrivelse af hver, men I kan sikkert godt få en ide om, hvad der adskiller dem fra hinanden. At der ikke er andre, er naturligvis sværere at se.

P1. Kun translationer. Fra www.mathigon.org

p2. Rotation 180 grader. Fra www.mathigon.org

p3m1 Spejlinger rotationer og glidespejlinger

cmm Spejlinger rotationer og glidespejlinger

p3. Rotation med 120 grader. Fra www.mathigon.org

p4 rotation med 180 og 90 grader

p4g Spejlinger rotationer og glidespejlinger Mathigon.org

p4m Spejlinger rotationer og glidespejlinger mathigon.org

p6m Spejlinger rotationer og glidespejlinger

p31m Spejlinger rotationer og glidespejlinger

pgg Spejlinger rotationer og glidespejlinger. mathigon.org

pg Glidespejlinger langs parallelle akser. mathigon.,org

pmg Spejlinger rotationer og glidespejlinger. mathigon.org

pm Spejlinger langs parallelle akser

pmm Spejlinger langs ortogonale akser. Rotation på 180 grader.- mathigon.org

p6. Rotation 60 grader. Fra Mathigon.org.

cm. Spejlinger glidespejlinger translationer. Mathigon.org

Tilsvarende kan man klassificere symmetrier i rummet. De såkaldte krystalgrupper. Her er for eksempel NaCl eller almindeligt køkkensalt. Det har kubisk struktur, som man kan se. Og det er ret klart, hvordan man kan skubbe det rundt og fylde hele rummet op. Men der er 229 andre måder at gøre det på.

NaCl, køkkensalt. Med struktur 225 i den internationale krystalstrukturtabel. Eller Fm3m i Hermann Mauguin notation.

Kvasikrystaller, aperiodisk fliselægning

Aperiodisk fliselægning eller udfyldning af rummet har man, når man har

• Et endeligt antal flisetyper eller byggeklodser
• Et system, der giver en dækning af hele planen eller hele rummet med disse fliser/klodser sådan at der er en største periodiske delmængde (man må ikke lave en dækning med kvadratiske fliser og derefter bare dele en af fliserne i to)
• IKKE noget system, der dækker planen/rummet ved først at samle nogen af fliserne/klodserne sammen til en enkelt figur og derefter bruge denne til at dække planen/rummet.

Den sidste betingelse sikrer, at man ikke tager eksempelvis det grønne elefantmønster, vender en af elefanterne en omgang (og dermed ødelægger symmetrien) og så kalder det aperiodisk.

Penrose fliselægning. Rotationssymmetrisk, men ingen translationer. (Wikimedia Commons)

Penrosefliselægningen fra sidste blogpost er aperiodisk. Og mønsteret kan fortsættes til at dække hele planen.

Aperiodicitet fra periodiske mønster i højere dimension.

Penrosemønstre og andre aperiodiske fliselægninger/byggeklodser kan konstrueres ved “cut and project” metoden. I 1981 viste B.G. de Bruin, at alle Penrosefliselægninger, som er lavet med små og store romber, kan konstrueres udfra standardgitteret i dimension 5, altså alle punkter (x1,x2,x3,x4,x5) i med heltallige koordinater ved

• Læg en plan ind i ,, så den ligger passende skævt – dens retningsvektorer skal have irrationale koordinater.
• Gør den lidt tykkere – gå et lille stykke ud vinkelret på begge retningsvektorer
• Projicer alle de gitterpunkter, der ligger i den optykkede plan ind på den oprindelige plan og forbind dem med kanter, hvis de var naboer i gitteret.

Det giver naturligvis et mønster i hele planen.

Penrosemønstre fremkommet ved “cut and project” med planer parallelle med den, der giver det sædvanlige Penrosemønster. (Wikipedia Creative Commons)

Hører man til dem, der ikke så let kan forestille sig to-dimensionale planer i det fem-dimensionale rum, er her et eksempel på at lave aperiodiske mønstre på en linje ved cut and project fra standardgitteret i planen.

Fra regulært gitter i planen til aperiodisk mønster på linjen. Fra
1D quasicrystals by Fibonacci substitution and lattice projection
Wolfram Community.

Bemærk, hvordan der er to forskellige linjestykker, som dækker, men man kan ikke parallelforskyde og få same mønster. Det opfylder ikke betingelsen om, at man ikke kan ommøblere og lave et periodisk mønster, men som sagt er det lettere at se en linje i planen end en plan i

Billederne nedenfor viser en projektion af den 5-dimensionale kube vinkelret ind på en plan, som ligger skævt – altså punkter med koordinater (0,0,0,0,0), (1,0,0,0,0), (0,1,0,0,0),…,(1,1,0,0,0) ,… etc. op til (1,1,1,1,1) – der er 32 hjørner – og kanterne imellem dem. Der er taget flere hjørner og kanter med – punkter af typen (2,0,1,0,1,0). Det er jo hele heltalsgitteret, der er i spil. Det er vigtigt, at planen ligger skævt, da punkterne ellers havner oveni hinanden. (Tænk selv over det) Her er, så vidt jeg kan se, diagonale hjørner, der lander oveni hinanden – (0,0,0,0,0) og (1,1,1,1,1).

5-kubens hjørner og kanter og andre punkter fra det kubiske gitter i dimension 5 er projiceret ind på en plan. Lagt oveni det quasikrystal, Schechtman opdagede. (Wikimedia commons)

Morale: Man kan forstå kvasikrystaller ved at betragte periodiske mønstre i højere dimension. Husk det, når vi ses igen på bloggen til historien om, hvad det mon har med virus at gøre. Cliffhanger! 

Ligesom sidste år, fortæller vi kommende studerende, at de virkelig kan flytte verden, hvis de får lært sig noget teknisk-naturvidenskabeligt. Det gør vi på Flyt Verden. Matematikuddannelserne finder man under et ikon, hvori der står i en udgave, som en grafiker synes ser smart ud. Hvad laver den ligning mon der? Bortset fra, at den ser smart ud.

Den kaldes Eulers ligning. Symbolerne, der indgår, er stort set  kendt fra gymnasiet: og vel også for , men der står også , og det er sågar sat ind i eksponentialfunktionen.

Komplekse tal

Symbolet fra Eulers ligning er et tal, der løser ligningen , altså en kvadratrod af . Det er jo lidt uvant for de fleste, at man kan tage kvadratroden af en negativt tal, men ligesom vi indfører som betegnelse for et tal, der løser , så kan man med lidt tilvænning acceptere, at . Nu følger straks, at , at , at , at og mange andre regnerier, som følger af at insistere på, at man kan gange ind i paranteser, som man plejer og at , som det plejer at være. Et komplekst tal er et af disse nye tal, altså et tal , hvor er sædvanlige reelle tal.

Man kan altså gange komplekse tal sammen ved reglerne for at gange ind i paranteser. Kan man mon dividere? Eller mere præcist: Hvis nogen kommer med et komplekst tal, , som ikke må være , kan man så finde , så . Ja. Det kan man. Man skal lade . Check selv, at det virker. Nu kan man så dividere med ved at gange med . Ligesom man dividerer med 2 ved at gange med

Komplekse funktioner

Kald de komplekse tal for . En kompleks funktion tager et komplekst tal som input og giver et komplekst tal som output. Eksempelvis kunne man have , hv or nu står for et komplekst tal. Andre af de sædvanlige reelle funktioner har også en version, der giver mening, når input er et komplekst tal. Polynomierne har naturligvis – man kan jo gange komplekse tal med sig selv, så giver også mening.

I Eulers ligning optræder . Og ja, eksponentialfunktionen kan udvides til at omfatte de komplekse tal. For de reelle tal kan man vise, at

Det er en uendelig række – man bliver ved med at lægge mindre og mindre led til, sådan som jeg fortalte om i Mod det Uendelige Univers. Eftersom vi kan lægge komplekse tal sammen og gange dem med hinanden, kan man forsøgsvis definere

Hvor man lader være et komplekst tal. Giver det så mening? Jeps. Det konvergerer, og ovenikøbet kan man vise, at

Hvilket synes at være et overordentlig mystisk sammentræf. Men det er nu sådan, det er, uanset om det ser mærkeligt ud.

Og så er vi klar:

eller m.a.o. . Voila. Hvorfor skriver man så ligningen på den måde – altså lægger 1 til på begge sider? Jo, det er for at få så mange vigtige tal med, som man kan stoppe ind, nemlig 0, 1, . Nogen på står, at det er “alle de vigtige tal” – men det kan man selvfølgelig diskutere. Vi har skam mange andre, som er både pæne og vigtige.

Skriver man det med rækken ovenfor, står der

Som XKCD siger det:

Fra xkcd, hvor man finder mange nørdede vittigheder.

Emmy Noether viste allerede i 1915,  at fysiske bevarelsessætninger (energibevarelse, impulsbevarelse,…) alle har en symmetri af fysiske ligninger som underliggende forklaring eller i hvert fald makker. Så symmetri er ikke bare det, vi ser med det blotte øje i flisemønstre og havegange.

Matematisk set er en symmetri af en ligning eller en geometrisk figur, en afbildning (funktion),  der ikke ændrer ligningen eller figuren. Eksempelvis er ligningen xy+yz+zx=2 uændret under ombytning af koordinaterne – en afbildning (x,y,z) -> (y,z,x) ændrer ikke ligningen. Den slags observationer kan være nyttige, når man skal løse ligninger – eksempelvis differentialligninger.

Jeg vil fokusere på geometriske figurer her, men der er altså mange andre anvendelser af symmetri. Symmetrierne af en geometrisk figur D i planen, er de funktioner fra planen til planen, som sender D bijektivt i sig selv  . Vi holder os her til isometrier, altså afbildninger f, som bevarer afstand mellem punkter: .

Translationssymmetri: I sidste blogindlæg om kuglepakninger så vi på gitre. De har symmetri:

L= Alle punkter i planen, hvis koordinater begge er et helt tal.

f(x,y)=(x+1,y) og g(x,y)=(x,y+1) sender L over i sig selv og det gør alle afbildninger (x,y) -> (x+k,y+l), hvor k og l er hele tal.

Et gitter har samme type symmetri: Afbildninger sender M i sig selv, når blot n og m er hele tal. Symmetrier, som er parallelforskydninger langs givne vektorer, kaldes translationssymmetri.

Rotationssymmetri. 

Penrose fliselægning. Rotationssymmetrisk, men ingen translationer. (Wikimedia Commons)

Figuren her har rotationssymmetri: Hvis man drejer den med en vinkel på omkring midtpunktet, så går den over i sig selv. Det er ikke svært at forestille sig rotationssymmetriske figurer med vinkler på for givet k.

Spejlinger I Folkeskolen lærer man om spejlingssymmetri. Det har vi naturligvis også med her: Man kan spejle i en given akse gennem origo. Desuden har vi glidespejlinger, som er spejling og translation i et hug. Det forstås vist lettest fra en tegning:    Spejling i aksen vandret mellem højre og venstrefødderne er ikke en symmetri, men kombineret med translation mod højre (eller venstre), er det.

Matematikken bag:

Symmetrierne af en figur D udgør en gruppe med sammensætning af afbildninger som komposition: Hvis f og g er symmetrier, så

1. er en symmetri
2. er en symmetri
3. identitetsafbildningen, i(x)=x er en symmetri.

Det er forbavsende, hvor meget, vi kan få ud af disse meget simple observationer. Altså, at vi nu har oversat til at studere grupper (og gruppevirkninger mere præcist). Gruppeteori er meget velstuderet og er helt centralt i matematikken – det er branchen “algebra”, der bl.a. omfatter gruppeteori.

Tapetgrupper Tapetmønstre og fliselægning har en blanding af rotations, spejlings og og translationssymmetri. Som udgangspunkt kræves, at der er translationssymmetri i to retninger, i.e., langs to vektorer, som ikke må være parallelle – det ville være snyd. Nu spørger man så, hvis man er nysgerrig, hvad de mulige symmetrigrupper mon er. Det er (næsten) klart, at ikke alle kombinationer er tilladt. Roterer man med en vinkel, der ikke “passer sammen” med vektorerne, der skal translateres langs med, så går det ikke. Men det viser sig at være meget restriktivt.  De grupper, der kan kombineres med translationer, er

• Cykliske grupper (rotationer) af orden 2,3,4 og 6 -(rotation med vinklen 360/2, 360/3, 360/4 og 360/6) og
• Diedergrupperne (som er rotation kombineret med en spejling – D1, D2, D3, D4, D6) Eksempelvis er D4, Diedergruppen med 8 elementer – (engelsk, dihedral group, hvis du vil Google)  symmetrierne af et kvadrat – man kan rotere med vinklen 90 , 180, 270 og 0 grader og spejle i fire akser. D4 giver strukturen af sammensætning af rotationer og spejlinger.

Disse grupper er punktgrupperne – de holder et punkt fast. Og så er der tilbage at se, hvordan det kan kombineres med translationer:

Her er et mønster med tapetgruppe p31m. De blå pile er translationsretningerne. Der er spejligssymmetri og rotation med vinklen  120 graderomkring tre forskellige centre.

Tapetgruppen p3. Her er , ligesom for p31m rotationssymmetri med vinklen 120 grader, men her er ikke ikke spejlinger. Det forhindres af asymmetrien “indenfor fliserne”

Der er 17 væsensforskellige tapetmønstre. Her mener vi, at deres symmetrier er forskellige som gruppevirkninger og ikke nødvendigvis som grupper. Klassifikation kræver, at man overvejer, hvornår objekter er ens – der kan laves rigtig mange forskelligt udseende tapeter, som har samme symmetri. Det kan man lære mere om i projektet på 4. semester her på matematikstudiet.  Figuren nedenfor viser dem alle 17. Der er en “grundflise”, som translateres i to retninger. Hvis denne grundflise ikke selv har nogen symmetri, er der kun translationerne og symmetrien af gittere. Har den symmetri, kan man lave en mindre grundflise, som flyttes rundt med både rotation/spejling og med translation. I eksemplet pm, er der en spejling udover translationerne. I p1, som i øvrigt ikke er tegnet helt færdigt, er der en asymmetrisk figur i “fliserne” – den forhindrer yderligere symmetri.  I p6m er der rotation med vinklen og en spejling.

Tapetgrupper – fra MathWorld.

Der er en tilsvarende klassifikation af gittermønstre i rummet, hvor man forlanger tre translationsretninger. Det giver de såkaldte krystallografiske grupper. Dem er der 219 af. Ingen af disse grupper (tapet eller krystal) indeholder rotation med vinklen , som var symmetrien for Penrosemønsteret ovenfor. Og det er begyndelsen på et nyt kapitel, nemlig om kvasisymmetri.

Kvasisymmetri: Klassifikationen af de krystallografiske grupper har (selvfølgelig) stor betydning i kemi/fysik. Man ved, hvilke punktgrupper, (lokale symmetrier, som holder et punkt fast), man kan kombinere med translation – ligesom man ved det i planen. En af de grupper, man ikke kan have som punktgruppe, er Ikosaedergruppen – symmetrierne af ikosaederet. Og man kan som følge deraf ikke have rotation med orden 10 i et røntgendiffraktionsbillede (man sender røntgen eller muligvis andre stråler – jeg har kun bifag i fysik gennem et krystal og ser på det plane billede) af en krystalstruktur. Så Dan Schechtman blev meget forbavset, da han i 1982 så netop den rotationssymmetri i et

Zn-Mg-Ho-diffraktion (Zink Mangan Holmium)

billede af Zn-Mg-Ho. Han blev så forbavset, at han endte med at få en Nobelpris. For at opdage kvasikrystaller. Kvasikrystaller er krystaller, som lokalt har en symmetri, som gentages – man genbruger en “3d-flise”, men gentagelsen er ikke en simpel paralleltranslation – der er ikke et gitter. Siden er der opdaget flere eksempler på kvasikrystalstrukturer i kemi. I planen er det tilsvarende spørgsmål: Kan man finde et antal fliser, som kan lægges i et mønster, der dækker planen, men som ikke kan lægges i et “tapetmønster”- altså periodisk i to retninger? Det kan man. Roger Penrose har givet navn til Penrose fliselægning og gav i 1975 et eksempel på 2 fliser, som kan dække planen, men ikke, hvis man forlange translationssymmetri. Billedet, jeg har brugt til at illustrere rotationssymmetri er del af en Penrosefliselægning. Billedet her viser fliserne foran Andrew Wiles-bygningen i Oxford. Det var et meget stor arbejde at få lagt fliserne og måtte gøres om, da nogle fliser ikke var lavet præcist nok.

Penrosefliselægning foran Matematisk Intitut i Oxford. Cirklerne er sat ind af kunstneriske årsager – af Penrose himself…

I marts offentliggjorde  den ukrainske matematiker Marina Viaszovska , som lige nu er på Humboldt Universitetet  Berlin, en artikel, som giver løsningen på kuglepakningsproblemet i dimension 8, og en uge efter kom en opfølger, hvor hun sammen med andre havde løsningen på problemet i dimension 24.

Spørgsmålet er simpelt nok: Hvor stor en andel af planen, rummet, det 4-dimensionale rum,,,, kan man fylde ud ved at pakke kugler med samme radius så tæt som muligt. En kugle i det n-dimensionale rum, er de punkter/vektorer  , som har (Euklidisk) længde højst 1:

To cirkelpakninger. Den til højre er tættere end den til venstre. (Fra MathWorld.)

Allerede i 1892 vidste den norske matematiker Axel Thue, at den mest effektive måde at pakke cirkler i planen ville fylde ca. 91% af arealet ud. For eksempel ved et heksagonalt mønster, som i en bikube. Hans bevis (som kom i 1910)  var ikke korrekt, så det første bevis er fra 1940 og skyldes Fejes Toth.

Kuglerne pakkes med hvert lag efter den plane hexagonale pakning. Så stables lagene efter forskellige regler. Der er flere, der giver en optimal pakning i dimension 3.

I dimension 3 fylder den tætteste pakning ca. 74% og er for eksempel den, man får ved at pakke efter hjørnepunkter og center i kuber. Det var forbavsende vanskeligt at vise. Gauss viste allerede i 1831, at den pakning er den tætteste blandt gitter/lattice-pakningerne. Men der kunne jo være andre typer pakninger, som var bedre. I 1998 viste Thomas Hales, at det faktisk er den tætteste pakning – beviset var meget langt og brugte computere, så det var omdiskuteret, om det faktisk var korrekt,

Lagene pakkes sammen. Med forskellig forskydning.

men det mener vi nu, at det er.

En pakning beskrives ved koordinaterne for centrum af kuglerne, altså en (uendelig) delmængde af vektorer i . Det  kaldes en gitterpakning, hvis

1. Hvis x og y er i , så er x+y og x-y også i . (Så 0 er altid med – tænk over det.)
2. Hvis x er i , så er x isoleret: Der findes et (muligvis lille) d>0, så der ikke er andre gitterpunkter i kuglen med centrum i x og radius d.
3. “fylder noget” – det er ikke indeholdt i noget n-1 dimensionalt underrum af . Eksempelvis må et gitter i planen ikke holde sig indenfor en linje. I rummet må det ikke ligge i en plan. etc.

Eksempelvis er mængden af punkter med heltallige koordinater et gitter. I planen er centrene givet som alle heltallige linearkombinationer – hvad man kan få ved at lægge vektorer sammen, gange dem med hele tal og kombinere disse – af vektorerne I dimension 3 er det (for eksempel) kombinationer af

I dimension 8 og 24 er der gitre, som giver en meget tæt pakning. E8-gitteret og Leech gitteret. Tætheden af E8 er ca. 25% og tætheden af Leech gitterpakningen er ca. 0,19% De nye resultater er, at de to gitre faktisk giver den tætteste pakning. Specielt er den tætteste pakning altså en gitterpakning. Både E8 og Leech-gitteret har forbindelser til mange områder af matematik (Leech lattice har bl.a. forbindelse til Golay-koder, men det får I ikke mere om her)- og beviset har krævet konstruktion af nye funktioner, som er i familie med det, der er kernen i beviset for Fermats sætning, nemlig modulære former!

Problemet er altså løst i dimensionerne 1,2,3,8 og 24. Generelt har vi en nedre grænse for, hvor tæt, en pakning nødvendigvis må være, hvis der ikke er huller, som er store nok til at proppe endnu en kugle ind: Hvis vi har lavet en pakning, hvor der ikke er plads til en kugle mere, så er der ingen punkter, som har afstand mere end 2r til alle kugler (r er radius af kuglerne). Så hvis vi tog kugler med dobbelt så stor radius og anbragte i samme centre, så ville hele rummet R^n være dækket. Dobbelt radius giver gange så stort volumen. Altså havde vi dækket mindst med den oprindelige pakning. Bemærk, at der ikke er nogen opskrift med til at placere kuglerne. Det er et ikke-konstruktivt bevis.

Hvorfor mon den andel, der bliver dækket, aftager med voksende dimension? Det kan man måske forstå, når man ser på volumen af n-dimensionale kugleflader. Formlerne er som følger for en kugle med radius R:

 for lige dimensioner 2k

 for ulige dimension 2k+1. Volumen går mod 0, hvis radius holdes fast mens dimensionen vokser. Derimod er volumen af en kasse med sidelængde 2R (som kuglen kan puttes ned i) . Hvis man pakker efter systemerne, man fandt i lavere dimensioner – det kan man give en slags mening til – så bliver der mindre og mindre  fyldt ud.

E8 kan ses som 1) Lav den pakning, der svarer til den hexagonale kubiske i dimension 3 – udfra vektorerne, jeg gav ovenfor – passende udvidet og lagt ind i dimension 8. Så bliver der huller med plads til flere kugler – systematisk. Fyld dem ud. Det giver E8. I E8 er kyssetallet – de kugler der rører en givet kugle – 240. I Leech-gitteret, som kan konstrueres udfra E8, men også på mange andre måder, kysses der meget – kyssetallet er 196560.

Mandag 18.april 13-15 kommer Steffen Lauritzen heldigvis til Aalborg.

Steffen Lauritzen

Denne gang for at holde tiltrædelsesforelæsning som adjungeret professor. OG der er reception bagefter.

Tilmelding senest 11.april til merete@math.aau.dk, så der er mad nok til receptionen… Flere oplysninger og det officielle opslag finder I her

Titlen og Resume:  Challenges in Graphical Models

Resume: ”Grafiske modeller har nu eksisteret i næsten fyrre år og har i den periode spillet en hovedrolle i mit videnskabelige liv. I forelæsningen skal jeg forsøge at give eksempler på hvad de er, hvordan de kan anvendes, og hvorfor de er interessante. Jeg vil også identificere vigtige historiske milepæle og forsøge at give indtryk af den seneste udvikling og nuværende udfordringer i forbindelse med deres teori og anvendelse – udfordringer, som jeg håber at tage op i den nærmeste fremtid.”

Det skal I komme og høre. Steffen er en fremragende forelæser og en af de helt store i statistik.

Grafiske Modeller dækker i sandsynlighedsteori og statistik over modeller, hvor afhængigheden er beskrevet ved en graf.

Bayesiansk Net.

Her er et Bayesiansk netværk, som er et eksempel på en grafisk model. Øverst til højre er knuden “Ryger”. Der er, ifølge grafen, sandsynlighed 0,5 for, at man ryger. Er man ryger er der en vis sandsynlighed for, at man har lungekræft P(L|S)=0,1  og en anden for at have bronkitis P(B|S)=0.6. Sandsynligheden for at have lungekræft, hvis man ikke ryger, er P(L|~S)=0,01, så “tilden” ~betyder “ikke” eller “non”.  Til venstre for oven er en knude for at have været i Asien – det har 1% af befolkningen, P(A)=0,01, og sandsynligheder for, at man i så fald har tuberkulose hhv. lungekræft. De nederste knuder er hhv. at have et bestemt røntgenbillede (positivt…) og at have Dyspnoea, som  er kortåndethed. Bayes’ formel

giver en sammenhæng mellem betingede sandsynliheder den ene og den anden vej, så man kan spørge, hvad sandsynligheden er for, at en tilfældig person, som har lungekræft er ryger, P(S|L), kan udregnes, hvis man kender P(L|S) og det gør vi, P(S) kender vi også her, men vi kender ikke P(L), altså sandsynligheden for, at en tilfældig person har lungekræft.

Udfra netværket ovenfor, kan man eksempelvis regne på, hvad sandsynligheden er for, at en person, der har positivt røntgenresultat, kortåndethed og har været i Asien, har lungekræft. Man indtaster disse oplysninger og kan så opdatere sandsynlighederne i netværket – belief-propagation – ved som udgangspunkt at bruge Bayes’ formel.

Det er jo fint nok, men bliver netværkene store, kan det være beregningsmæssigt meget voldsomt, da der som udgangspunkt er sammenhæng op og ned og på tværs af hele nettet. Lauritzen Spiegelhalter algoritmen giver en effektiv måde at gøre det på – man kan lave visse udregninger færdige i en lille del af netværket og så føde dem ind i den større sammenhæng. Det udnyttes f.eks. i programmerne fra Hugin, som er startet af bl.a. Steffen Lauritzen. Man kan hente en demo, Hugin Light, som man kan lege med, hvis ens netværk ikke er for store. Sådanne netværk kan bruges til beslutningsstøtte.

Men kom til foredraget. Steffen fortæller det meget bedre.